Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Aqui temos uma integral que mistura diferentes tipos de funções: um polinômio, uma fração com potência negativa, uma raiz cúbica e um logaritmo natural. Vamos usar as regras de integração para cada tipo de função e resolver cada termo separadamente. Precisamos conhecer as fórmulas de antiderivadas para potências e para o logaritmo.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar o termo
. A regra para integrar uma potência de
é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente. Então:
Passo 3
Agora, vamos integrar
. Podemos reescrever isso como
e aplicar a mesma regra de potência:
Passo 4
O próximo termo é
, que é igual a
. Usando a regra da potência:
Passo 5
Por fim, temos
. Para integrar o logaritmo natural, usamos a integração por partes. Vamos considerar
e
. Então,
e
. Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Resposta
Somando todas as integrais calculadas, a integral completa é:
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na superfície dada:
© .
©
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que varia com a posição
como
. Determine a carga total armazenada no capacitor ao longo de 0 a
, calculando a integral
.