Calcule as integrais abaixo: integral(x^5+1x^3+raiz[3]x+ln (3 x)) d x

Passo 1

Aqui temos uma integral que mistura diferentes tipos de funções: um polinômio, uma fração com potência negativa, uma raiz cúbica e um logaritmo natural. Vamos usar as regras de integração para cada tipo de função e resolver cada termo separadamente. Precisamos conhecer as fórmulas de antiderivadas para potências e para o logaritmo.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar o termo integral x^5 dx = x^66 . A regra para integrar uma potência de é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente. Então:

Passo 3

Agora, vamos integrar integral x^-3 dx = x^-2-2 = -12x^2 . Podemos reescrever isso como e aplicar a mesma regra de potência:

Passo 4

O próximo termo é integral x^1/3 dx = x^4/34/3 = 3x^4/34 , que é igual a . Usando a regra da potência:

Passo 5

Por fim, temos integral ln(3x) dx = x ln(3x) - integral x cdot 1x dx = x ln(3x) - integral 1 dx = x ln(3x) - x . Para integrar o logaritmo natural, usamos a integração por partes. Vamos considerar e . Então, e . Aplicando a fórmula de integração por partes :

Resposta

Somando todas as integrais calculadas, a integral completa é:
integral(x^5+1x^3+raiz[3]x+ln (3 x)) dx = x^66 - 12x^2 + 3x^4/34 + x ln(3x) - x + C

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