Calcule a integral abaixo por frações parciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que envolve frações parciais! A questão pede para calcular a integral de
em relação a
. Vamos usar o método de frações parciais, que nos ajuda a decompor uma fração racional em partes mais simples para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o grau do numerador é menor que o do denominador. Aqui, o numerador é um polinômio de grau 2 e o denominador é produto de dois polinômios de grau 1, somando grau 2. Como os graus são iguais, precisamos fazer uma divisão polinomial antes de aplicar as frações parciais.
Passo 3
Vamos dividir
por
. Primeiro, multiplicamos os fatores do denominador:
Agora, dividimos
por
:
Então, agora nossa integral fica:
Passo 4
Vamos focar na segunda parte da integral:
. Aqui, aplicamos as frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 5
Agora, expandimos e agrupamos os termos:
Comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
Passo 6
Resolvemos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 7
Agora, substituímos
e
na expressão das frações parciais:
Simplificando:
Passo 8
Agora, voltamos à integral original:
Integrando termo a termo:
Resposta
A integral
é igual a:
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que varia com a posição
como
. Determine a carga total armazenada no capacitor ao longo de 0 a
, calculando a integral
.
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e
no intervalo
. Dica: Primeiro, encontre o ponto de interseção das curvas, divida o intervalo, e depois calcule a área separadamente em cada região.