Calcule a integral abaixo por frações parciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que envolve frações parciais! A questão pede para calcular a integral de em relação a . Vamos usar o método de frações parciais, que nos ajuda a decompor uma fração racional em partes mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o grau do numerador é menor que o do denominador. Aqui, o numerador é um polinômio de grau 2 e o denominador é produto de dois polinômios de grau 1, somando grau 2. Como os graus são iguais, precisamos fazer uma divisão polinomial antes de aplicar as frações parciais.

Passo 3

Vamos dividir por . Primeiro, multiplicamos os fatores do denominador:
Agora, dividimos por :
Então, agora nossa integral fica:

Passo 4

Vamos focar na segunda parte da integral: . Aqui, aplicamos as frações parciais. Queremos encontrar constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 5

Agora, expandimos e agrupamos os termos:
Comparando os coeficientes dos termos correspondentes:

Passo 6

Resolvemos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Passo 7

Agora, substituímos e na expressão das frações parciais:
Simplificando:

Passo 8

Agora, voltamos à integral original:
Integrando termo a termo:

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo:
Calcule as integrais abaixo por substituição simples ou dupla:
Questões de cálculo de área: Um capacitor de placas paralelas tem uma densidade de carga superficial que varia com a posição como . Determine a carga total armazenada no capacitor ao longo de 0 a , calculando a integral .
Questões de cálculo de área: Calcule a área entre as curvas e no intervalo . Dica: Primeiro, encontre o ponto de interseção das curvas, divida o intervalo, e depois calcule a área separadamente em cada região.