Calcule a integral abaixo por frações parciais: integral 3 x^2+5 x+2(x-1)(x+2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que envolve frações parciais! A questão pede para calcular a integral de em relação a . Vamos usar o método de frações parciais, que nos ajuda a decompor uma fração racional em partes mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o grau do numerador é menor que o do denominador. Aqui, o numerador é um polinômio de grau 2 e o denominador é produto de dois polinômios de grau 1, somando grau 2. Como os graus são iguais, precisamos fazer uma divisão polinomial antes de aplicar as frações parciais.

Passo 3

Vamos dividir (x - 1)(x + 2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2 por 3x^2 + 5x + 2x^2 + x - 2 = 3 + 2x + 8x^2 + x - 2 . Primeiro, multiplicamos os fatores do denominador:
integral 3x^2 + 5x + 2(x - 1)(x + 2) dx = integral 3 , dx + integral 2x + 8(x - 1)(x + 2) dx
Agora, dividimos por :
Então, agora nossa integral fica:

Passo 4

Vamos focar na segunda parte da integral: 2x + 8(x - 1)(x + 2) = Ax - 1 + Bx + 2 . Aqui, aplicamos as frações parciais. Queremos encontrar constantes 2x + 8 = A(x + 2) + B(x - 1) e tais que:
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 5

Agora, expandimos e agrupamos os termos:
2x + 8 = A x + 2A + B x - B = (A + B)x + (2A - B)
Comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
A + B = 2 (coeficiente de x)
2A - B = 8 (termo constante)

Passo 6

Resolvemos o sistema de equações:
  1. 3A = 10 Rightarrow A = 103
  2. 103 + B = 2 Rightarrow B = 2 - 103 = -43
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Passo 7

Agora, substituímos 2x + 8(x - 1)(x + 2) = 103x - 1 + -43x + 2 e 2x + 8(x - 1)(x + 2) = 103(x - 1) - 43(x + 2) na expressão das frações parciais:
Simplificando:

Passo 8

Agora, voltamos à integral original:
integral 3 , dx + integral ( 103(x - 1) - 43(x + 2) ) dx
Integrando termo a termo:
3x + 103 ln|x - 1| - 43 ln|x + 2| + C

Resposta

A integral 3x + 103 ln|x - 1| - 43 ln|x + 2| + C é igual a:

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