Calcule as integrais abaixo por substituição simples ou dupla: integral x(x^2+4)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo integral, especificamente o método de substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas. Vamos precisar entender como escolher uma parte da integral para substituir por uma variável mais simples, facilitando assim a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o que temos na integral: . A ideia aqui é identificar uma parte da expressão que, ao ser substituída, simplifica a integral. Note que temos no denominador, e o numerador é . Isso sugere que podemos usar a substituição simples.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável u = x^2 + 4 como sendo a expressão que está dentro do denominador ao quadrado:
dudx = 2x
Agora, precisamos encontrar a derivada de du = 2x , dx em relação a para substituir o :
Isso significa que:

Passo 4

Queremos expressar x , dx = du2 em termos de integral x(x^2 + 4)^2 , dx = integral 1u^2 cdot du2 . A equação acima nos dá:
Agora, vamos substituir e na integral original:

Passo 5

Simplificando a expressão, temos:
12 integral u^-2 , du
Agora, vamos integrar integral u^-2 , du = -u^-1 + C = -1u + C :
12 cdot ( -1u ) + C = -12u + C
Portanto, multiplicando pelo :

Passo 6

Agora, vamos voltar à variável original -12(x^2 + 4) + C substituindo :

Resposta

A integral de -12(x^2 + 4) + C é:

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