Questões de cálculo de área: Um capacitor de placas paralelas tem uma densidade de carga superficial que varia com a posição como . Determine a carga total armazenada no capacitor ao longo de 0 a , calculando a integral .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um capacitor de placas paralelas onde a densidade de carga superficial varia com a posição conforme . Nosso objetivo aqui é calcular a carga total armazenada nesse capacitor no intervalo de a . Para isso, vamos usar o cálculo de integrais, que é uma ferramenta essencial para somar quantidades que variam ao longo de um intervalo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a carga total armazenada no capacitor pode ser encontrada integrando a densidade de carga superficial sobre o intervalo dado. Matemáticamente, isso é representado pela integral:
Ou seja, vamos somar todas as pequenas quantidades de carga ao longo de de até .

Passo 3

Substituindo a expressão de na integral, temos:
Agora, precisamos resolver essa integral. Note que estamos lidando com um produto de duas funções: e . Para integrar isso, vamos usar o método de integração por partes.

Passo 4

A integração por partes é uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. A fórmula básica é:
Vamos identificar e na nossa integral:
Agora, aplicando a fórmula:
Simplificando:

Passo 5

Vamos calcular a integral restante:
Substituindo de volta:
Agora, devemos avaliar essa expressão entre os limites de e :

Passo 6

Vamos calcular para :
E para :
Subtraindo os valores:

Resposta

A carga total armazenada no capacitor é coulombs.

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