Questões de cálculo de área: Um capacitor de placas paralelas tem uma densidade de carga superficial sigma(x) que varia com a posição x como sigma(x)=4 x sin (x). Determine a carga total armazenada no capacitor ao longo de 0 a pi, calculando a integral integral0^pi sigma(x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um capacitor de placas paralelas onde a densidade de carga superficial varia com a posição conforme . Nosso objetivo aqui é calcular a carga total armazenada nesse capacitor no intervalo de a . Para isso, vamos usar o cálculo de integrais, que é uma ferramenta essencial para somar quantidades que variam ao longo de um intervalo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a carga total Q = integral0^pi sigma(x) , dx armazenada no capacitor pode ser encontrada integrando a densidade de carga superficial sobre o intervalo dado. Matemáticamente, isso é representado pela integral:
Ou seja, vamos somar todas as pequenas quantidades de carga ao longo de de até .

Passo 3

Substituindo a expressão de Q = integral0^pi 4x sin(x) , dx na integral, temos:
Agora, precisamos resolver essa integral. Note que estamos lidando com um produto de duas funções: e . Para integrar isso, vamos usar o método de integração por partes.

Passo 4

A integração por partes é uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. A fórmula básica é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos identificar u = 4x Rightarrow du = 4 , dx e dv = sin(x) , dx Rightarrow v = -cos(x) na nossa integral:
integral 4x sin(x) , dx = 4x (-cos(x)) - integral (-cos(x)) cdot 4 , dx
= -4x cos(x) + 4 integral cos(x) , dx
Agora, aplicando a fórmula:
Simplificando:

Passo 5

Vamos calcular a integral restante:
integral cos(x) , dx = sin(x) + C
Substituindo de volta:
-4x cos(x) + 4 sin(x)
Agora, devemos avaliar essa expressão entre os limites de Q = [ -4x cos(x) + 4 sin(x) ]0^pi e :

Passo 6

Vamos calcular para -4pi cos(pi) + 4 sin(pi) = -4pi (-1) + 4 cdot 0 = 4pi :
-4(0) cos(0) + 4 sin(0) = 0 + 0 = 0
E para Q = 4pi - 0 = 4pi :
Subtraindo os valores:

Resposta

A carga total armazenada no capacitor é coulombs.

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