Questões de cálculo de área: Um capacitor de placas paralelas tem uma densidade de carga superficial
que varia com a posição
como
. Determine a carga total armazenada no capacitor ao longo de 0 a
, calculando a integral
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um capacitor de placas paralelas onde a densidade de carga superficial varia com a posição
conforme
. Nosso objetivo aqui é calcular a carga total armazenada nesse capacitor no intervalo de
a
. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais, que é uma ferramenta essencial para somar quantidades que variam ao longo de um intervalo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a carga total
armazenada no capacitor pode ser encontrada integrando a densidade de carga superficial
sobre o intervalo dado. Matemáticamente, isso é representado pela integral:
Ou seja, vamos somar todas as pequenas quantidades de carga ao longo de
de
até
.
Passo 3
Substituindo a expressão de
na integral, temos:
Agora, precisamos resolver essa integral. Note que estamos lidando com um produto de duas funções:
e
. Para integrar isso, vamos usar o método de integração por partes.
Passo 4
A integração por partes é uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. A fórmula básica é:
Vamos identificar
e
na nossa integral:
Agora, aplicando a fórmula:
Simplificando:
Passo 5
Vamos calcular a integral restante:
Substituindo de volta:
Agora, devemos avaliar essa expressão entre os limites de
e
:
Passo 6
Vamos calcular para
:
E para
:
Subtraindo os valores:
Resposta
A carga total armazenada no capacitor é
coulombs.
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.
.