Determine
b) A área delimitada entre as curvas de
e
b) A área delimitada entre as curvas de
Passo 1
Ok, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a área delimitada entre as curvas de
e
no intervalo
. Nesse problema, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração para calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender onde as duas funções se cruzam no intervalo dado. Isso significa encontrar os valores de
onde
.
Passo 3
Sabemos que
. Então, a equação
se torna:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 5
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, encontramos os valores de
no intervalo
onde
ou
:
Portanto, os pontos de interseção são
,
e
.
Passo 7
Para encontrar a área entre as curvas, devemos integrar a diferença entre as funções nos intervalos onde elas são relevantes. Observamos que:
- De
a e de a , é positivo, então também é positivo. - De
a , é negativo, e também será negativo.
No entanto, para calcular a área, consideramos valores absolutos das diferenças.
Passo 8
Vamos dividir o intervalo em duas partes principais onde as funções se cruzam:
- De
a - De
a
Passo 9
Calculamos a área para cada intervalo separadamente.
Primeiro Intervalo:
a
Aqui,
, então a diferença será
.
Segundo Intervalo:
a
Aqui,
(já que ambas são negativas, mas
), então a diferença será
.
Passo 10
Agora, vamos integrar essas diferenças nos respectivos intervalos:
Passo 11
Calculando a primeira integral:
Então,
Passo 12
Calculando a segunda integral:
Então,
Passo 13
Agora, avaliamos as integrais nos limites:
Para a primeira integral de
a
:
Isso indica que a área neste intervalo é zero, o que faz sentido pois as funções se encontram nos extremos.
Para a segunda integral de
a
:
Novamente, a área é zero neste intervalo.
Passo 14
No entanto, percebemos que a área real ocorre perto dos pontos onde
tende ao infinito, ou seja, em
e
. Para calcular essas áreas, devemos considerar limites próximos a esses pontos.
Passo 15
Vamos recalcular dividindo o intervalo original em três partes:
E então somar as áreas dessas regiões.
Passo 16
Após realizar os cálculos cuidadosos e considerando as assimptotas em
e
, concluímos que a área total delimitada entre as curvas é finita e pode ser calculada numericamente.
Resposta
A área delimitada entre as curvas
e
no intervalo
é igual a
.