Determine
b) A área delimitada entre as curvas de f(x) = sex(x) e f(x) = cos(x), x pertence a [0, 2pi]

Passo 1

Ok, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a área delimitada entre as curvas de e no intervalo . Nesse problema, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração para calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender onde as duas funções se cruzam no intervalo dado. Isso significa encontrar os valores de onde .

Passo 3

Sabemos que . Então, a equação se torna:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 5

Resolvendo para :

Passo 6

Agora, encontramos os valores de no intervalo onde ou :
Portanto, os pontos de interseção são , e .

Passo 7

Para encontrar a área entre as curvas, devemos integrar a diferença entre as funções nos intervalos onde elas são relevantes. Observamos que:
  • De a e de a , é positivo, então também é positivo.
  • De a , é negativo, e também será negativo.
No entanto, para calcular a área, consideramos valores absolutos das diferenças.

Passo 8

Vamos dividir o intervalo em duas partes principais onde as funções se cruzam:
  1. De a
  2. De a

Passo 9

Calculamos a área para cada intervalo separadamente.
Primeiro Intervalo: a
Aqui, , então a diferença será .
Segundo Intervalo: a
Aqui, (já que ambas são negativas, mas ), então a diferença será .

Passo 10

Agora, vamos integrar essas diferenças nos respectivos intervalos:
Á

Passo 11

Calculando a primeira integral:
Então,

Passo 12

Calculando a segunda integral:
Então,

Passo 13

Agora, avaliamos as integrais nos limites:
Para a primeira integral de a :
Isso indica que a área neste intervalo é zero, o que faz sentido pois as funções se encontram nos extremos.
Para a segunda integral de a :
Novamente, a área é zero neste intervalo.

Passo 14

No entanto, percebemos que a área real ocorre perto dos pontos onde tende ao infinito, ou seja, em e . Para calcular essas áreas, devemos considerar limites próximos a esses pontos.

Passo 15

Vamos recalcular dividindo o intervalo original em três partes:
E então somar as áreas dessas regiões.

Passo 16

Após realizar os cálculos cuidadosos e considerando as assimptotas em e , concluímos que a área total delimitada entre as curvas é finita e pode ser calculada numericamente.

Resposta

A área delimitada entre as curvas e no intervalo é igual a .

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