Calcule as integrais abaixo: integral x-1(x-2)^2(x-3)^2 d x integral xx-6 d x
integral x-9(x+5)(x-2) d x
integral d ss^2(s-1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esses quatro integrais juntos! O que a gente tem aqui são funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver essas integrais, vamos precisar usar a técnica de frações parciais. Basicamente, a gente vai decompor essas frações em partes menores que são mais fáceis de integrar. Vamos lá!

Integral 1: integral x-1(x-2)^2(x-3)^2 d x

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos expressar x-1(x-2)^2(x-3)^2 como:
Ax-2 + B(x-2)^2 + Cx-3 + D(x-3)^2
Aqui, A, B, C e D são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum (x-2)^2(x-3)^2, obtemos:
x - 1 = A(x-2)(x-3)^2 + B(x-3)^2 + C(x-2)^2(x-3) + D(x-2)^2
Agora, vamos escolher valores de x que simplifiquem a equação.

Passo 4

Escolha x=2:
2 - 1 = B(2-3)^2 Rightarrow 1 = B(1) Rightarrow B = 1
Escolha x=3:
3 - 1 = D(3-2)^2 Rightarrow 2 = D(1) Rightarrow D = 2

Passo 5

Agora, expanda e compare os coeficientes para encontrar A e C. Após simplificação, encontramos:
A = -1 e C = 1

Passo 6

Então, a decomposição fica:
-1x-2 + 1(x-2)^2 + 1x-3 + 2(x-3)^2

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral ( -1x-2 + 1(x-2)^2 + 1x-3 + 2(x-3)^2 ) dx
Isso resulta em:
- ln|x-2| - 1x-2 + ln|x-3| - 2x-3 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Vamos simplificar a fração antes de integrar. Observe que:
xx-6 = 1 + 6x-6
Isso porque x = (x-6) + 6, então:
xx-6 = (x-6) + 6x-6 = 1 + 6x-6

Passo 9

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 1 , dx + integral 6x-6 , dx
Que resulta em:
x + 6 ln|x-6| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 10

Vamos usar frações parciais novamente. Queremos expressar x-9(x+5)(x-2) como:
Ax+5 + Bx-2
Onde A e B são constantes a serem encontradas.

Passo 11

Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum (x+5)(x-2), temos:
x - 9 = A(x-2) + B(x+5)

Passo 12

Escolha x=2:
2 - 9 = A(0) + B(7) Rightarrow -7 = 7B Rightarrow B = -1
Escolha x=-5:
-5 - 9 = A(-7) + B(0) Rightarrow -14 = -7A Rightarrow A = 2

Passo 13

Então, a decomposição fica:
2x+5 - 1x-2

Passo 14

Agora, integramos cada termo:
2 ln|x+5| - ln|x-2| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 15

Vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos expressar 1s^2(s-1)^2 como:
As + Bs^2 + Cs-1 + D(s-1)^2
Onde A, B, C e D são constantes a serem encontradas.

Passo 16

Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum s^2(s-1)^2, obtemos:
1 = A s (s-1)^2 + B (s-1)^2 + C s^2 (s-1) + D s^2

Passo 17

Escolha s=0:
1 = B ( -1 )^2 Rightarrow 1 = B Rightarrow B = 1
Escolha s=1:
1 = D (1)^2 Rightarrow D = 1

Passo 18

Agora, expanda e compare os coeficientes para encontrar A e C. Após simplificação, encontramos:
A = -1 e C = -1

Passo 19

Então, a decomposição fica:
-1s + 1s^2 + -1s-1 + 1(s-1)^2

Passo 20

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral ( -1s + 1s^2 + -1s-1 + 1(s-1)^2 ) ds
Que resulta em:
- ln|s| - 1s - ln|s-1| - 1s-1 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

- ln|s| - 1s - ln|s-1| - 1s-1 + C

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