Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esses quatro integrais juntos! O que a gente tem aqui são funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver essas integrais, vamos precisar usar a técnica de frações parciais. Basicamente, a gente vai decompor essas frações em partes menores que são mais fáceis de integrar. Vamos lá!
Integral 1:
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos expressar
como:
Aqui, A, B, C e D são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum
, obtemos:
Agora, vamos escolher valores de x que simplifiquem a equação.
Passo 4
Escolha
:
Escolha
:
Passo 5
Agora, expanda e compare os coeficientes para encontrar A e C. Após simplificação, encontramos:
Passo 6
Então, a decomposição fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Isso resulta em:
Onde C é a constante de integração.
Passo 8
Vamos simplificar a fração antes de integrar. Observe que:
Isso porque
, então:
Passo 9
Agora, integramos cada termo separadamente:
Que resulta em:
Onde C é a constante de integração.
Passo 10
Vamos usar frações parciais novamente. Queremos expressar
como:
Onde A e B são constantes a serem encontradas.
Passo 11
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum
, temos:
Passo 12
Escolha
:
Escolha
:
Passo 13
Então, a decomposição fica:
Passo 14
Agora, integramos cada termo:
Onde C é a constante de integração.
Passo 15
Vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos expressar
como:
Onde A, B, C e D são constantes a serem encontradas.
Passo 16
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum
, obtemos:
Passo 17
Escolha
:
Escolha
:
Passo 18
Agora, expanda e compare os coeficientes para encontrar A e C. Após simplificação, encontramos:
Passo 19
Então, a decomposição fica:
Passo 20
Agora, integramos cada termo separadamente:
Que resulta em:
Onde C é a constante de integração.
Resposta
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Considere um corpo com massa
em queda vertical sujeito à força da gravidade,
, e à força de resistência do ar que é proporcional à velocidade instantânea do corpo e tem sentido oposto ao do movimento. Por causa dessa força, a velocidade do corpo não cresce ilimitadamente, mas tende a uma velocidade limite (ou velocidade terminal). Considerando-se que o corpo inicia a queda a partir do repouso (velocidade inicial nula) e que cinco segundos depois tem uma velocidade de queda de
. Determine em qual instante ele atinge a velocidade de
, se atingir, e qual sua velocidade terminal.
Obs.: Este item requer a resolucão de um PVI. Caso você nảo tenha feito o item (a) ou não saiba montar a equação diferencial para a velocidade, use .
Obs.: Este item requer a resolucão de um PVI. Caso você nảo tenha feito o item (a) ou não saiba montar a equação diferencial para a velocidade, use
Considere um corpo com massa
em queda vertical sujeito à força da gravidade,
, e à força de resistência do ar que é proporcional à velocidade instantânea do corpo e tem sentido oposto ao do movimento. Por causa dessa força, a velocidade do corpo não cresce ilimitadamente, mas tende a uma velocidade limite (ou velocidade terminal). Determine uma equação diferencial para a velocidade do corpo,
, em função do tempo. Sem resolver esta equação, esboce os gráficos que descrevam todas as possíveis soluçōes (todos os tipos de curvas integrais). Use a análise desses gráficos para determinar a velocidade terminal desse corpo.
Expresse como uma integral dupla e depois resolva tal integral, a medida do volume do sólido acima do plano
, limitado pelo parabolóide elíptico
e pelo cilindro
.
Calcule
limitada por
e
.