Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esses quatro integrais juntos! O que a gente tem aqui são funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver essas integrais, vamos precisar usar a técnica de frações parciais. Basicamente, a gente vai decompor essas frações em partes menores que são mais fáceis de integrar. Vamos lá!
Integral 1:
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos expressar
como:
Aqui, A, B, C e D são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum
, obtemos:
Agora, vamos escolher valores de x que simplifiquem a equação.
Passo 4
Escolha
:
Escolha
:
Passo 5
Agora, expanda e compare os coeficientes para encontrar A e C. Após simplificação, encontramos:
Passo 6
Então, a decomposição fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Isso resulta em:
Onde C é a constante de integração.
Passo 8
Vamos simplificar a fração antes de integrar. Observe que:
Isso porque
, então:
Passo 9
Agora, integramos cada termo separadamente:
Que resulta em:
Onde C é a constante de integração.
Passo 10
Vamos usar frações parciais novamente. Queremos expressar
como:
Onde A e B são constantes a serem encontradas.
Passo 11
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum
, temos:
Passo 12
Escolha
:
Escolha
:
Passo 13
Então, a decomposição fica:
Passo 14
Agora, integramos cada termo:
Onde C é a constante de integração.
Passo 15
Vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos expressar
como:
Onde A, B, C e D são constantes a serem encontradas.
Passo 16
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum
, obtemos:
Passo 17
Escolha
:
Escolha
:
Passo 18
Agora, expanda e compare os coeficientes para encontrar A e C. Após simplificação, encontramos:
Passo 19
Então, a decomposição fica:
Passo 20
Agora, integramos cada termo separadamente:
Que resulta em:
Onde C é a constante de integração.