Calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esses quatro integrais juntos! O que a gente tem aqui são funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver essas integrais, vamos precisar usar a técnica de frações parciais. Basicamente, a gente vai decompor essas frações em partes menores que são mais fáceis de integrar. Vamos lá!

Integral 1:

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos expressar como:
Aqui, A, B, C e D são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum , obtemos:
Agora, vamos escolher valores de x que simplifiquem a equação.

Passo 4

Escolha :
Escolha :

Passo 5

Agora, expanda e compare os coeficientes para encontrar A e C. Após simplificação, encontramos:

Passo 6

Então, a decomposição fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Isso resulta em:
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Vamos simplificar a fração antes de integrar. Observe que:
Isso porque , então:

Passo 9

Agora, integramos cada termo separadamente:
Que resulta em:
Onde C é a constante de integração.

Passo 10

Vamos usar frações parciais novamente. Queremos expressar como:
Onde A e B são constantes a serem encontradas.

Passo 11

Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum , temos:

Passo 12

Escolha :
Escolha :

Passo 13

Então, a decomposição fica:

Passo 14

Agora, integramos cada termo:
Onde C é a constante de integração.

Passo 15

Vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos expressar como:
Onde A, B, C e D são constantes a serem encontradas.

Passo 16

Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum , obtemos:

Passo 17

Escolha :
Escolha :

Passo 18

Agora, expanda e compare os coeficientes para encontrar A e C. Após simplificação, encontramos:

Passo 19

Então, a decomposição fica:

Passo 20

Agora, integramos cada termo separadamente:
Que resulta em:
Onde C é a constante de integração.

Resposta

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Considere um corpo com massa em queda vertical sujeito à força da gravidade, , e à força de resistência do ar que é proporcional à velocidade instantânea do corpo e tem sentido oposto ao do movimento. Por causa dessa força, a velocidade do corpo não cresce ilimitadamente, mas tende a uma velocidade limite (ou velocidade terminal). Considerando-se que o corpo inicia a queda a partir do repouso (velocidade inicial nula) e que cinco segundos depois tem uma velocidade de queda de . Determine em qual instante ele atinge a velocidade de , se atingir, e qual sua velocidade terminal.
Obs.: Este item requer a resolucão de um PVI. Caso você nảo tenha feito o item (a) ou não saiba montar a equação diferencial para a velocidade, use .
Considere um corpo com massa em queda vertical sujeito à força da gravidade, , e à força de resistência do ar que é proporcional à velocidade instantânea do corpo e tem sentido oposto ao do movimento. Por causa dessa força, a velocidade do corpo não cresce ilimitadamente, mas tende a uma velocidade limite (ou velocidade terminal). Determine uma equação diferencial para a velocidade do corpo, , em função do tempo. Sem resolver esta equação, esboce os gráficos que descrevam todas as possíveis soluçōes (todos os tipos de curvas integrais). Use a análise desses gráficos para determinar a velocidade terminal desse corpo.
Expresse como uma integral dupla e depois resolva tal integral, a medida do volume do sólido acima do plano , limitado pelo parabolóide elíptico e pelo cilindro .
Calcule limitada por e .