Considere um corpo com massa
em queda vertical sujeito à força da gravidade,
, e à força de resistência do ar que é proporcional à velocidade instantânea do corpo e tem sentido oposto ao do movimento. Por causa dessa força, a velocidade do corpo não cresce ilimitadamente, mas tende a uma velocidade limite (ou velocidade terminal). Determine uma equação diferencial para a velocidade do corpo,
, em função do tempo. Sem resolver esta equação, esboce os gráficos que descrevam todas as possíveis soluçōes (todos os tipos de curvas integrais). Use a análise desses gráficos para determinar a velocidade terminal desse corpo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um corpo com massa
que está caindo verticalmente. Ele está sujeito a duas forças: a força da gravidade, que puxa o corpo para baixo, e a força de resistência do ar, que age contra o movimento. Nosso objetivo aqui é montar uma equação diferencial que descreva a velocidade
desse corpo ao longo do tempo. Para isso, vamos precisar entender um pouco de dinâmica, especificamente as leis de movimento de Newton e como forças afetam a velocidade de um objeto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as forças atuando no corpo. Temos:
- Força da gravidade:
, para baixo. - Força de resistência do ar:
, onde é uma constante positiva e o sinal negativo indica que a força é oposta ao movimento.
Aqui, usamos a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante
é igual à massa
vezes a aceleração
:
E a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Passo 3
Agora, somamos todas as forças atuando no corpo. A força resultante é a soma da força da gravidade e da força de resistência do ar:
Segundo a segunda lei de Newton:
Passo 4
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por
:
Essa é a equação diferencial que descreve a velocidade do corpo em função do tempo.
Passo 5
Agora, sem resolver a equação, vamos analisar os gráficos das soluções possíveis. A equação diferencial é uma equação linear de primeira ordem, cujo comportamento geral pode ser entendido observando-se a taxa de variação da velocidade
em relação a
.
- Se
for menor que a velocidade terminal: . Isso significa que a velocidade está aumentando. - Se
for maior que a velocidade terminal: . Isso indica que a velocidade está diminuindo. - Se
for igual à velocidade terminal: . A velocidade se estabiliza.
Assim, o gráfico das soluções vai se assentar em torno de um valor específico de velocidade, que é a velocidade terminal.
Passo 6
Para encontrar a velocidade terminal, basta igualar a taxa de variação da velocidade a zero:
Resolvendo para
:
Resposta
A velocidade terminal do corpo é
.
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Use coordenadas polares para calcular as integrais abaixo.
Use coordenadas polares para calcular as integrais abaixo.
Considere um corpo com massa
em queda vertical sujeito à força da gravidade,
, e à força de resistência do ar que é proporcional à velocidade instantânea do corpo e tem sentido oposto ao do movimento. Por causa dessa força, a velocidade do corpo não cresce ilimitadamente, mas tende a uma velocidade limite (ou velocidade terminal). Considerando-se que o corpo inicia a queda a partir do repouso (velocidade inicial nula) e que cinco segundos depois tem uma velocidade de queda de
. Determine em qual instante ele atinge a velocidade de
, se atingir, e qual sua velocidade terminal.
Obs.: Este item requer a resolucão de um PVI. Caso você nảo tenha feito o item (a) ou não saiba montar a equação diferencial para a velocidade, use .
Obs.: Este item requer a resolucão de um PVI. Caso você nảo tenha feito o item (a) ou não saiba montar a equação diferencial para a velocidade, use
Calcule as integrais abaixo: