Considere um corpo com massa em queda vertical sujeito à força da gravidade, , e à força de resistência do ar que é proporcional à velocidade instantânea do corpo e tem sentido oposto ao do movimento. Por causa dessa força, a velocidade do corpo não cresce ilimitadamente, mas tende a uma velocidade limite (ou velocidade terminal). Determine uma equação diferencial para a velocidade do corpo, , em função do tempo. Sem resolver esta equação, esboce os gráficos que descrevam todas as possíveis soluçōes (todos os tipos de curvas integrais). Use a análise desses gráficos para determinar a velocidade terminal desse corpo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um corpo com massa que está caindo verticalmente. Ele está sujeito a duas forças: a força da gravidade, que puxa o corpo para baixo, e a força de resistência do ar, que age contra o movimento. Nosso objetivo aqui é montar uma equação diferencial que descreva a velocidade desse corpo ao longo do tempo. Para isso, vamos precisar entender um pouco de dinâmica, especificamente as leis de movimento de Newton e como forças afetam a velocidade de um objeto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças atuando no corpo. Temos:
  1. Força da gravidade: , para baixo.
  2. Força de resistência do ar: , onde é uma constante positiva e o sinal negativo indica que a força é oposta ao movimento.
Aqui, usamos a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração :
E a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:

Passo 3

Agora, somamos todas as forças atuando no corpo. A força resultante é a soma da força da gravidade e da força de resistência do ar:
Segundo a segunda lei de Newton:

Passo 4

Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por :
Essa é a equação diferencial que descreve a velocidade do corpo em função do tempo.

Passo 5

Agora, sem resolver a equação, vamos analisar os gráficos das soluções possíveis. A equação diferencial é uma equação linear de primeira ordem, cujo comportamento geral pode ser entendido observando-se a taxa de variação da velocidade em relação a .
  • Se for menor que a velocidade terminal: . Isso significa que a velocidade está aumentando.
  • Se for maior que a velocidade terminal: . Isso indica que a velocidade está diminuindo.
  • Se for igual à velocidade terminal: . A velocidade se estabiliza.
Assim, o gráfico das soluções vai se assentar em torno de um valor específico de velocidade, que é a velocidade terminal.

Passo 6

Para encontrar a velocidade terminal, basta igualar a taxa de variação da velocidade a zero:
Resolvendo para :

Resposta

A velocidade terminal do corpo é .

Exercícios relacionados

Use coordenadas polares para calcular as integrais abaixo.
Use coordenadas polares para calcular as integrais abaixo.
Considere um corpo com massa em queda vertical sujeito à força da gravidade, , e à força de resistência do ar que é proporcional à velocidade instantânea do corpo e tem sentido oposto ao do movimento. Por causa dessa força, a velocidade do corpo não cresce ilimitadamente, mas tende a uma velocidade limite (ou velocidade terminal). Considerando-se que o corpo inicia a queda a partir do repouso (velocidade inicial nula) e que cinco segundos depois tem uma velocidade de queda de . Determine em qual instante ele atinge a velocidade de , se atingir, e qual sua velocidade terminal.
Obs.: Este item requer a resolucão de um PVI. Caso você nảo tenha feito o item (a) ou não saiba montar a equação diferencial para a velocidade, use .
Calcule as integrais abaixo: