Considere um corpo com massa
em queda vertical sujeito à força da gravidade,
, e à força de resistência do ar que é proporcional à velocidade instantânea do corpo e tem sentido oposto ao do movimento. Por causa dessa força, a velocidade do corpo não cresce ilimitadamente, mas tende a uma velocidade limite (ou velocidade terminal). Considerando-se que o corpo inicia a queda a partir do repouso (velocidade inicial nula) e que cinco segundos depois tem uma velocidade de queda de
. Determine em qual instante ele atinge a velocidade de
, se atingir, e qual sua velocidade terminal.
Obs.: Este item requer a resolucão de um PVI. Caso você nảo tenha feito o item (a) ou não saiba montar a equação diferencial para a velocidade, use
.
Obs.: Este item requer a resolucão de um PVI. Caso você nảo tenha feito o item (a) ou não saiba montar a equação diferencial para a velocidade, use
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um corpo com massa
que está caindo verticalmente. Ele está sujeito à força da gravidade
e à resistência do ar, que depende da velocidade do corpo. Por causa dessa resistência, a velocidade não aumenta para sempre, mas chega a um limite chamado de velocidade terminal. A gente precisa descobrir em que momento a velocidade do corpo atinge
e qual é essa velocidade terminal. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cinemática e equações diferenciais, especialmente modelando a resistência do ar.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação que descreve o movimento do corpo. A força resultante que age sobre o corpo é a diferença entre a força da gravidade e a força de resistência do ar. Segundo o enunciado, a resistência do ar é proporcional à velocidade ao quadrado, então podemos escrever:
Aqui:
-
é a massa do corpo, -
é a aceleração da gravidade, -
é a constante de proporcionalidade da resistência do ar, -
é a velocidade instantânea do corpo, -
é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Essa é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem que vamos resolver para encontrar
.
Passo 3
Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis
e
:
Agora, separamos os termos que envolvem
dos que envolvem
:
Pronto, agora podemos integrar os dois lados para encontrar
.
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Essa integral do lado esquerdo é uma integral padrão que resulta em funções arco tangente, mas para simplificar, vamos usar uma substituição. Definimos:
Então, a integral fica:
Onde
é a velocidade terminal que vamos determinar mais adiante.
Após resolver a integral, obtemos:
Passo 5
Vamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante
. Sabemos que no instante inicial (
), a velocidade é zero (
).
Substituindo na equação:
Então, a equação simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Exponenciando ambos os lados:
Resolvendo para
:
Ou simplificando:
Passo 7
Sabemos que cinco segundos depois (
), a velocidade é
:
Queremos encontrar quando
:
E a velocidade terminal é
.
Passo 8
Para determinar se o corpo atinge
, observamos que a função
sempre está entre -1 e 1. Portanto,
tende a
conforme
aumenta. Se
for igual a
, o corpo irá se aproximar desse valor, mas nunca o ultrapassará em tempo finito.
Usando a condição dada (
), podemos concluir que:
Resposta
O corpo atinge a velocidade de
assintoticamente, ou seja, tende a essa velocidade à medida que o tempo aumenta indefinidamente. A sua velocidade terminal é
.
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Considere um corpo com massa
em queda vertical sujeito à força da gravidade,
, e à força de resistência do ar que é proporcional à velocidade instantânea do corpo e tem sentido oposto ao do movimento. Por causa dessa força, a velocidade do corpo não cresce ilimitadamente, mas tende a uma velocidade limite (ou velocidade terminal). Determine uma equação diferencial para a velocidade do corpo,
, em função do tempo. Sem resolver esta equação, esboce os gráficos que descrevam todas as possíveis soluçōes (todos os tipos de curvas integrais). Use a análise desses gráficos para determinar a velocidade terminal desse corpo.
Use coordenadas polares para calcular as integrais abaixo.
Calcule as integrais abaixo:
Expresse como uma integral dupla e depois resolva tal integral, a medida do volume do sólido acima do plano
, limitado pelo parabolóide elíptico
e pelo cilindro
.