Considere um corpo com massa em queda vertical sujeito à força da gravidade, , e à força de resistência do ar que é proporcional à velocidade instantânea do corpo e tem sentido oposto ao do movimento. Por causa dessa força, a velocidade do corpo não cresce ilimitadamente, mas tende a uma velocidade limite (ou velocidade terminal). Considerando-se que o corpo inicia a queda a partir do repouso (velocidade inicial nula) e que cinco segundos depois tem uma velocidade de queda de . Determine em qual instante ele atinge a velocidade de , se atingir, e qual sua velocidade terminal.
Obs.: Este item requer a resolucão de um PVI. Caso você nảo tenha feito o item (a) ou não saiba montar a equação diferencial para a velocidade, use .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um corpo com massa que está caindo verticalmente. Ele está sujeito à força da gravidade e à resistência do ar, que depende da velocidade do corpo. Por causa dessa resistência, a velocidade não aumenta para sempre, mas chega a um limite chamado de velocidade terminal. A gente precisa descobrir em que momento a velocidade do corpo atinge e qual é essa velocidade terminal. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cinemática e equações diferenciais, especialmente modelando a resistência do ar.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação que descreve o movimento do corpo. A força resultante que age sobre o corpo é a diferença entre a força da gravidade e a força de resistência do ar. Segundo o enunciado, a resistência do ar é proporcional à velocidade ao quadrado, então podemos escrever:
Aqui:
  • é a massa do corpo,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a constante de proporcionalidade da resistência do ar,
  • é a velocidade instantânea do corpo,
  • é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Essa é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem que vamos resolver para encontrar .

Passo 3

Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis e :
Agora, separamos os termos que envolvem dos que envolvem :
Pronto, agora podemos integrar os dois lados para encontrar .

Passo 4

Vamos resolver a integral:
Essa integral do lado esquerdo é uma integral padrão que resulta em funções arco tangente, mas para simplificar, vamos usar uma substituição. Definimos:
Então, a integral fica:
Onde é a velocidade terminal que vamos determinar mais adiante.
Após resolver a integral, obtemos:

Passo 5

Vamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante . Sabemos que no instante inicial ( ), a velocidade é zero ( ).
Substituindo na equação:
Então, a equação simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos resolver para :
Exponenciando ambos os lados:
Resolvendo para :
Ou simplificando:

Passo 7

Sabemos que cinco segundos depois ( ), a velocidade é :
Queremos encontrar quando :
E a velocidade terminal é .

Passo 8

Para determinar se o corpo atinge , observamos que a função sempre está entre -1 e 1. Portanto, tende a conforme aumenta. Se for igual a , o corpo irá se aproximar desse valor, mas nunca o ultrapassará em tempo finito.
Usando a condição dada ( ), podemos concluir que:

Resposta

O corpo atinge a velocidade de assintoticamente, ou seja, tende a essa velocidade à medida que o tempo aumenta indefinidamente. A sua velocidade terminal é .

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Considere um corpo com massa em queda vertical sujeito à força da gravidade, , e à força de resistência do ar que é proporcional à velocidade instantânea do corpo e tem sentido oposto ao do movimento. Por causa dessa força, a velocidade do corpo não cresce ilimitadamente, mas tende a uma velocidade limite (ou velocidade terminal). Determine uma equação diferencial para a velocidade do corpo, , em função do tempo. Sem resolver esta equação, esboce os gráficos que descrevam todas as possíveis soluçōes (todos os tipos de curvas integrais). Use a análise desses gráficos para determinar a velocidade terminal desse corpo.
Use coordenadas polares para calcular as integrais abaixo.
Calcule as integrais abaixo:
Expresse como uma integral dupla e depois resolva tal integral, a medida do volume do sólido acima do plano , limitado pelo parabolóide elíptico e pelo cilindro .