Calcule as integrais abaixo:
integral(x-1)(2 x+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de em relação a . Isso faz parte do estudo de integração, e pra resolver essa integral, a gente vai usar o método de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição pra simplificar a expressão. Vamos chamar:
u = 2x + 1
Isso porque é a parte mais complexa da integral, e ao substituir, fica mais fácil de trabalhar.

Passo 3

Agora, vamos derivar dudx = 2 Rightarrow dx = du2 em relação a pra achar :

Passo 4

Precisamos também expressar x = u - 12 em termos de x - 1 = u - 12 - 1 = u - 32 . Vamos rearranjar :
Então, fica:

Passo 5

Agora, vamos substituir tudo na integral original:
integral (x - 1)(2x + 1)^2 dx = integral ( u - 32 ) u^2 ( du2 ) = 14 integral (u^3 - 3u^2) du

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
14 ( u^44 - u^3 ) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, substituímos (2x + 1)^416 - (2x + 1)^34 + C de volta por :

Resposta

(2x + 1)^416 - (2x + 1)^34 + C

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