Dê o domínio, a imagem e construa o gráfico de um período completo das seguintes funções:
Passo 1
Beleza! A gente tem que analisar a função
. Isso é trigonometria, especificamente funções trigonométricas. Vamos precisar entender o que são domínio, imagem e como desenhar o gráfico de um período completo dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
que a função pode assumir sem problemas. Para a tangente, ela é indefinida quando o cosseno é zero, ou seja, em
, onde
é qualquer inteiro.
Passo 3
Como temos
, vamos igualar
. Resolvendo para
:
Então, o domínio será todos os reais exceto
, onde
é inteiro.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a imagem da função. A tangente pode assumir todos os valores reais, ou seja, sua imagem é
.
Passo 5
Para desenhar o gráfico de um período completo, primeiro lembra que a função tangente tem período
. Porém, como há um deslocamento de
, isso vai deslocar o gráfico horizontalmente.
Vamos identificar os valores críticos:
- Assíntotas verticais:
- Ponto central do gráfico entre duas assíntotas: em
O gráfico vai passar por esse ponto central e se estender para cima e para baixo nas proximidades das assíntotas.
Resposta
- Domínio:
exceto , onde é inteiro. - Imagem:
- Gráfico: Um gráfico de uma função tangente deslocada horizontalmente em
, com assíntotas verticais em e um período completo de .
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Calcule as integrais abaixo:
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