Dê o domínio, a imagem e construa o gráfico de um período completo das seguintes funções:

Passo 1

Beleza! A gente tem que analisar a função . Isso é trigonometria, especificamente funções trigonométricas. Vamos precisar entender o que são domínio, imagem e como desenhar o gráfico de um período completo dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de que a função pode assumir sem problemas. Para a tangente, ela é indefinida quando o cosseno é zero, ou seja, em , onde é qualquer inteiro.

Passo 3

Como temos , vamos igualar . Resolvendo para :
Então, o domínio será todos os reais exceto , onde é inteiro.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a imagem da função. A tangente pode assumir todos os valores reais, ou seja, sua imagem é .

Passo 5

Para desenhar o gráfico de um período completo, primeiro lembra que a função tangente tem período . Porém, como há um deslocamento de , isso vai deslocar o gráfico horizontalmente.
Vamos identificar os valores críticos:
  • Assíntotas verticais:
  • Ponto central do gráfico entre duas assíntotas: em
O gráfico vai passar por esse ponto central e se estender para cima e para baixo nas proximidades das assíntotas.

Resposta

  • Domínio: exceto , onde é inteiro.
  • Imagem:
  • Gráfico: Um gráfico de uma função tangente deslocada horizontalmente em , com assíntotas verticais em e um período completo de .

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Dê o domínio, a imagem e construa os gráficos das seguintes funções:
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Calcule as integrais abaixo:
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