Usando substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de
usando substituição trigonométrica. Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente de métodos de integração. Para resolver, vamos precisar usar trigonometria para simplificar a expressão dentro da raiz e facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a expressão
sugere o uso de substituição trigonométrica para integrais que envolvem
. A substituição adequada nesse caso é
, onde
. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Derivando
em relação a
:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original. Primeiro, calculemos
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Sabemos que
. Substituindo isso na integral:
Passo 7
Agora, vamos dividir a integral:
A primeira parte é simples:
Para a segunda parte, usamos a identidade
:
Integrando:
Passo 8
Voltando à expressão anterior:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembramos que
, então:
Também, usando a identidade
, e sabendo que
e
, temos:
Passo 10
Substituindo de volta na nossa expressão:
Resposta
A integral
é igual a
onde
é a constante de integração.
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Calcule as integrais abaixo:
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