Usando substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo.
integral raizx^2-9x^3 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de usando substituição trigonométrica. Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente de métodos de integração. Para resolver, vamos precisar usar trigonometria para simplificar a expressão dentro da raiz e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a expressão x = 3sec(theta) sugere o uso de substituição trigonométrica para integrais que envolvem . A substituição adequada nesse caso é , onde . Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos expressar dx = 3sec(theta)tan(theta) , dtheta em termos de . Derivando em relação a :

Passo 4

Vamos substituir raizx^2 - 9 = raiz9sec^2(theta) - 9 = raiz9(sec^2(theta) - 1) = raiz9tan^2(theta) = 3tan(theta) e integral 3tan(theta)(3sec(theta))^3 cdot 3sec(theta)tan(theta) , dtheta na integral original. Primeiro, calculemos :
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(3sec(theta))^3 = 27sec^3(theta)
Substituindo de volta na integral:
integral 3tan(theta)27sec^3(theta) cdot 3sec(theta)tan(theta) , dtheta = integral 9tan^2(theta)27sec^2(theta) , dtheta = integral tan^2(theta)3sec^2(theta) , dtheta

Passo 6

Sabemos que integral sec^2(theta) - 13sec^2(theta) , dtheta = 13 integral (1 - cos^2(theta)) , dtheta = 13 integral (1 - cos^2(theta)) , dtheta . Substituindo isso na integral:

Passo 7

Agora, vamos dividir a integral:
13 integral 1 , dtheta - 13 integral cos^2(theta) , dtheta
A primeira parte é simples:
13 theta
Para a segunda parte, usamos a identidade 13 integral 1 + cos(2theta)2 , dtheta = 16 integral 1 , dtheta + 16 integral cos(2theta) , dtheta :
16 theta + 112 sin(2theta)
Integrando:

Passo 8

Voltando à expressão anterior:
13 theta - ( 16 theta + 112 sin(2theta) ) = 16 theta - 112 sin(2theta) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Agora, precisamos voltar para a variável original sec(theta) = x3 Rightarrow theta = sec^-1(x3) . Lembramos que sin(2theta) = 2 cdot raizx^2 - 9x cdot 3x = 6raizx^2 - 9x^2 , então:
Também, usando a identidade , e sabendo que e , temos:

Passo 10

Substituindo de volta na nossa expressão:
16 sec^-1(x3) - 112 cdot 6raizx^2 - 9x^2 + C = 16 sec^-1(x3) - raizx^2 - 92x^2 + C

Resposta

A integral 16 sec^-1(x3) - raizx^2 - 92x^2 + C é igual a
onde é a constante de integração.

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integral1^raiz3 arctg(1 / x) d x.
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(x-1)/(x^3+x^2)
Calcule as integrais abaixo:
integral x-9(x+5)(x-3) d x.