integral cos ^2(ln x) d x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos a integral de em relação a . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente de integração de funções trigonométricas compostas com logaritmos. Vamos precisar usar a identidade trigonométrica para e técnicas de substituição para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar cos^2(u) = 1 + cos(2u)2 . Sabemos que:
integral cos^2(ln x) , dx = integral 1 + cos(2 ln x)2 , dx = 12 integral 1 , dx + 12 integral cos(2 ln x) , dx
Aplicando isso na nossa integral, temos:

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral simples:
12 integral 1 , dx = 12 x + C1
Aqui, é uma constante de integração que iremos somar no final.

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda integral: t = ln x Rightarrow dt = 1x dx Rightarrow dx = x , dt = e^t , dt . Para isso, vamos fazer uma substituição:
12 integral cos(2t) cdot e^t , dt
Substituindo na integral, temos:

Passo 5

Agora, precisamos resolver integral e^at cos(bt) , dt = e^at (a cos(bt) + b sin(bt))a^2 + b^2 + C . Para isso, usamos a fórmula de integração de funções exponenciais multiplicadas por cossenos:
integral e^t cos(2t) , dt = e^t (cos(2t) + 2 sin(2t))1^2 + 2^2 + C = e^t (cos(2t) + 2 sin(2t))5 + C
No nosso caso, e . Aplicando a fórmula:

Passo 6

Voltando à variável original 12 integral cos(2 ln x) , dx = 12 cdot x (cos(2 ln x) + 2 sin(2 ln x))5 + C = x (cos(2 ln x) + 2 sin(2 ln x))10 + C ( e ):

Passo 7

Finalmente, juntamos as duas partes da integral:
integral cos^2(ln x) , dx = 12 x + x (cos(2 ln x) + 2 sin(2 ln x))10 + C
Simplificando um pouco, podemos escrever:
integral cos^2(ln x) , dx = x2 + x cos(2 ln x)10 + x sin(2 ln x)5 + C

Resposta

integral cos^2(ln x) , dx = x2 + x cos(2 ln x)10 + x sin(2 ln x)5 + C

Exercícios relacionados