Calcule as integrais abaixo: integral 2 x+3(x+1)^3 dx.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, a matéria que estamos trabalhando é cálculo integral, mais especificamente integrais racionais. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada frações parciais ou substituição para simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração 2x + 3 = 2(x + 1) + 1 . Observe que o numerador pode ser reescrito em termos de :
Isso porque e .

Passo 3

Agora substituímos essa expressão na integral:
integral 2x + 3(x + 1)^3 , dx = integral 2(x + 1) + 1(x + 1)^3 , dx

Passo 4

Vamos separar a fração em duas partes para facilitar a integração:
integral ( 2(x + 1)(x + 1)^3 + 1(x + 1)^3 ) , dx = integral ( 2(x + 1)^2 + 1(x + 1)^3 ) , dx

Passo 5

Agora, vamos lembrar que a integral de integral 1(x + 1)^n , dx = -(x + 1)^-(n-1)n-1 + C é:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando essa regra às duas integrais:
Para integral 2(x + 1)^2 , dx = 2 cdot -(x + 1)^-11 = -2x + 1 :
integral 1(x + 1)^3 , dx = -(x + 1)^-22 = -12(x + 1)^2
Para :

Passo 7

Agora, juntamos as duas integrais:
-2x + 1 - 12(x + 1)^2 + C

Resposta

A integral -2x + 1 - 12(x + 1)^2 + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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