Calcule as integrais trigonométricas abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral trigonométrica
. Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente potências de cosseno e seno. Para resolver essa integral, vamos precisar usar uma técnica de substituição que facilita a integração de funções desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Podemos reescrever
como
. Além disso, lembra que
. Isso nos ajudará a reescrever a integral de uma maneira que facilite a substituição. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Então, derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Passo 4
Substituindo
e
na integral, ficamos com:
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Lembrando que
, podemos escrever:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos expandir
para facilitar a integração:
Substituindo na integral:
Agora, podemos integrar termo a termo:
Então, a integral se torna:
Passo 6
Agora, vamos substituir
de volta na expressão:
Podemos também escrever as potências fracionárias como raízes:
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.