Calcule as integrais trigonométricas abaixo: integral cos^5 traizsen t dt.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral trigonométrica integral cos^5 traizsin t dt. Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente potências de cosseno e seno. Para resolver essa integral, vamos precisar usar uma técnica de substituição que facilita a integração de funções desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Podemos reescrever cos^5 t como cos^4 t cdot cos t. Além disso, lembra que cos^2 t = 1 - sin^2 t. Isso nos ajudará a reescrever a integral de uma maneira que facilite a substituição. Então, temos:
integral cos^5 traizsin t dt = integral cos^4 t cdot cos traizsin t dt

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = sin t
Então, derivando ambos os lados em relação a t, temos:
du = cos t , dt Rightarrow cos t , dt = du

Passo 4

Substituindo u = sin t e cos t , dt = du na integral, ficamos com:
integral cos^4 t cdot cos traizsin t dt = integral cos^4 traizu cdot du
Agora, precisamos expressar cos^4 t em termos de u. Lembrando que cos^2 t = 1 - sin^2 t = 1 - u^2, podemos escrever:
cos^4 t = (cos^2 t)^2 = (1 - u^2)^2
Então, a integral fica:
integral (1 - u^2)^2raizu du

Passo 5

Vamos expandir (1 - u^2)^2 para facilitar a integração:
(1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4
Substituindo na integral:
integral 1 - 2u^2 + u^4raizu du = integral ( u^-1/2 - 2u^3/2 + u^7/2 ) du
Agora, podemos integrar termo a termo:
  1. integral u^-1/2 du = 2u^1/2
  2. integral -2u^3/2 du = -2 cdot 25 u^5/2 = -45 u^5/2
  3. integral u^7/2 du = 29 u^9/2
Então, a integral se torna:
2u^1/2 - 45u^5/2 + 29u^9/2 + C

Passo 6

Agora, vamos substituir u = sin t de volta na expressão:
2(sin t)^1/2 - 45(sin t)^5/2 + 29(sin t)^9/2 + C
Podemos também escrever as potências fracionárias como raízes:
2raizsin t - 45(sin t)^5/2 + 29(sin t)^9/2 + C

Resposta

A integral integral cos^5 traizsin t dt é igual a:
2raizsin t - 45sin^5/2 t + 29sin^9/2 t + C
Onde C é a constante de integração.

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