Calcule as integrais trigonométricas abaixo: integral tg^3 x dx.

Passo 1

Vamos calcular a integral de tan^3x em relação a x. Para isso, vamos usar técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas, especialmente manipulando expressões com a tangente para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever tan^3x de uma forma que facilite a integração. Sabemos que tan^3x pode ser escrito como tan^2x cdot tan x.

Passo 3

Agora, usamos a identidade trigonométrica tan^2x = sec^2x - 1 para substituir tan^2x na expressão:
tan^3x = (sec^2x - 1) cdot tan x

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral tan^3x , dx = integral (sec^2x - 1) cdot tan x , dx

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes:
integral (sec^2x - 1) cdot tan x , dx = integral sec^2x cdot tan x , dx - integral tan x , dx

Passo 6

Para a primeira integral, fazemos uma substituição:
  • Seja u = tan x
  • Então, du = sec^2x , dx
A integral fica:
integral sec^2x cdot tan x , dx = integral u , du = u^22 = tan^2x2

Passo 7

Para a segunda integral, sabemos que:
integral tan x , dx = -ln|cos x| + C

Passo 8

Juntando as duas partes, a integral original fica:
integral tan^3x , dx = tan^2x2 - (-ln|cos x|) + C = tan^2x2 + ln|cos x| + C

Resposta

integral tan^3x , dx = tan^2x2 + ln|cos x| + C

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