Calcule as integrais trigonométricas abaixo: .

Passo 1

Vamos calcular a integral de em relação a . Para isso, vamos usar técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas, especialmente manipulando expressões com a tangente para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever de uma forma que facilite a integração. Sabemos que pode ser escrito como .

Passo 3

Agora, usamos a identidade trigonométrica para substituir na expressão:

Passo 4

Substituindo na integral, temos:

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes:

Passo 6

Para a primeira integral, fazemos uma substituição:
  • Seja
  • Então,
A integral fica:

Passo 7

Para a segunda integral, sabemos que:

Passo 8

Juntando as duas partes, a integral original fica:

Resposta

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