Calcule as integrais abaixo.
(a) integral 2^x3+2^x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com integração envolvendo funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral transformando-a em uma forma mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir . A ideia é transformar a integral em termos de para facilitar a resolução.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de dudx = 2^x ln(2) em relação a . Derivando :
Isso significa que .

Passo 4

Queremos expressar 2^x , dx = duln(2) em termos de . A partir da equação anterior:

Passo 5

Agora, substituímos integral 2^x3 + 2^x , dx = integral 1u cdot duln(2) = 1ln(2) integral 1u , du e na integral original:

Passo 6

A integral de 1ln(2) integral 1u , du = 1ln(2) ln|u| + C é o logaritmo natural de :
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos 1ln(2) ln|3 + 2^x| + C de volta para a expressão original:

Resposta

A solução da integral é:
1ln(2) ln(3 + 2^x) + C

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