integral x^2 d x(x^2+1)^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício pertence à matéria de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão algébrica e usar algumas técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador da fração. Observamos que x^2(x^2 +1)^2 = (x^2 +1) - 1(x^2 +1)^2 = 1x^2 +1 - 1(x^2 +1)^2 pode ser reescrito como . Assim, temos:

Passo 3

Agora, a integral original pode ser dividida em duas integrais mais simples:
integral x^2 dx(x^2 +1)^2 = integral 1x^2 +1 dx - integral 1(x^2 +1)^2 dx

Passo 4

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
  1. Primeira Integral:
integral 1x^2 +1 dx
Essa é uma integral padrão que resulta na função arco-tangente:
integral 1x^2 +1 dx = arctan(x) + C
  1. Segunda Integral:
integral 1(x^2 +1)^2 dx
Essa integral também é conhecida e seu resultado é:
integral 1(x^2 +1)^2 dx = x2(x^2 +1) + 12 arctan(x) + C

Passo 5

Substituindo os resultados das integrais de volta na expressão original:
integral x^2 dx(x^2 +1)^2 = arctan(x) - ( x2(x^2 +1) + 12 arctan(x) ) + C
Simplificando:
integral x^2 dx(x^2 +1)^2 = 12 arctan(x) - x2(x^2 +1) + C

Resposta

integral x^2 dx(x^2+1)^2 = 12 arctan(x) - x2(x^2+1) + C

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