Calcule as integrais abaixo: integral0^3 x raizx^2+4 d x.

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Esse problema pertence ao estudo de integrais, especificamente utilizando o método de substituição (também conhecido como mudança de variável). Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável, simplificando assim o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integral. Observamos que dentro da raiz quadrada temos . Vamos definir .

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx em relação a para encontrar :

Passo 4

Perceba que na nossa integral original temos um x , dx = du2 . Podemos isolar na expressão de :

Passo 5

Substituímos na integral original:
integral x raizx^2+4 , dx = integral raizu cdot du2 = 12 integral u^1/2 , du

Passo 6

Agora, integramos 12 integral u^1/2 , du = 12 cdot u^3/23/2 + C = 13 u^3/2 + C em relação a :

Passo 7

Voltando à variável original 13 (x^2 + 4)^3/2 + C , substituímos por :

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 3:
[ 13 (x^2 + 4)^3/2 ]0^3 = 13 (3^2 + 4)^3/2 - 13 (0^2 + 4)^3/2

Passo 9

Calculamos os valores:
3^2 + 4 = 9 + 4 = 13 e 0^2 + 4 = 4
13 (13)^3/2 - 13 (4)^3/2

Passo 10

Simplificamos as potências fracionárias:
13^3/2 = raiz13^3 = 13 raiz13 e 4^3/2 = raiz4^3 = 8
13 cdot 13 raiz13 - 13 cdot 8 = 13 raiz13 - 83

Resposta

A integral é igual a .

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