Calcule as integrais abaixo:
.
Passo 1
Vamos resolver a integral definida
. Esse problema pertence ao estudo de integrais, especificamente utilizando o método de substituição (também conhecido como mudança de variável). Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável, simplificando assim o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integral. Observamos que dentro da raiz quadrada temos
. Vamos definir
.
Passo 3
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Passo 4
Perceba que na nossa integral original temos um
. Podemos isolar
na expressão de
:
Passo 5
Substituímos na integral original:
Passo 6
Agora, integramos
em relação a
:
Passo 7
Voltando à variável original
, substituímos
por
:
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 3:
Passo 9
Calculamos os valores:
Passo 10
Simplificamos as potências fracionárias:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo:
;
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;
Calcule a área da região delimitada pelas retas
e pelo gráfico de
.