Calcule as integrais abaixo: .

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Esse problema pertence ao estudo de integrais, especificamente utilizando o método de substituição (também conhecido como mudança de variável). Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável, simplificando assim o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integral. Observamos que dentro da raiz quadrada temos . Vamos definir .

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de em relação a para encontrar :

Passo 4

Perceba que na nossa integral original temos um . Podemos isolar na expressão de :

Passo 5

Substituímos na integral original:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :

Passo 7

Voltando à variável original , substituímos por :

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 3:

Passo 9

Calculamos os valores:

Passo 10

Simplificamos as potências fracionárias:

Resposta

A integral é igual a .

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