Calcule as integrais abaixo: integral0^1 integralarcsen y^pi / 2 e^cos x d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral integral0^1 integralarcsen y^pi / 2 e^cos x , dx , dy. Vamos precisar entender como trabalhar com integrais duplas e talvez trocar a ordem de integração para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos que y varia de 0 a 1, e para cada y, x varia de arcsin(y) até pi/2. Isso pode ser um pouco complicado de integrar diretamente, então vamos tentar trocar a ordem das integrais.

Passo 3

Para trocar a ordem de integração, precisamos descobrir os novos limites para x e y. Observando os limites originais:
  • y vai de 0 a 1.
  • Para cada y, x vai de arcsin(y) a pi/2.
Isso significa que, para um dado x, y vai de 0 até sin(x). E x varia de 0 a pi/2. Então, a integral fica:
integral0^pi/2 integral0^sin x e^cos x , dy , dx

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a y primeiro. Note que e^cos x não depende de y, então a integral interna é simples:
integral0^sin x e^cos x , dy = e^cos x cdot y |0^sin x = e^cos x cdot sin x
Agora nossa integral dupla virou uma única integral:
integral0^pi/2 e^cos x cdot sin x , dx

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição:
  • Seja u = cos x, então du = -sin x , dx ou -du = sin x , dx.
Quando x = 0, u = cos(0) = 1.
Quando x = pi/2, u = cos(pi/2) = 0.
Substituindo na integral:
integralx=0^x=pi/2 e^cos x cdot sin x , dx = -integralu=1^u=0 e^u , du = integral0^1 e^u , du

Passo 6

Agora, a integral ficou bem simples:
integral0^1 e^u , du = e^u |0^1 = e^1 - e^0 = e - 1

Resposta

O valor da integral é e - 1.

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