Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral . Vamos precisar entender como trabalhar com integrais duplas e talvez trocar a ordem de integração para facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos que varia de a , e para cada , varia de até . Isso pode ser um pouco complicado de integrar diretamente, então vamos tentar trocar a ordem das integrais.
Passo 3
Para trocar a ordem de integração, precisamos descobrir os novos limites para e . Observando os limites originais:
vai de a .
Para cada , vai de a .
Isso significa que, para um dado , vai de até . E varia de a . Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a primeiro. Note que não depende de , então a integral interna é simples:
Agora nossa integral dupla virou uma única integral:
integral0^pi/2 e^cos x cdot sin x , dx
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição:
Seja u = cos x, então du = -sin x , dx ou -du = sin x , dx.
Quando x = 0, u = cos(0) = 1.
Quando x = pi/2, u = cos(pi/2) = 0.
Substituindo na integral:
integralx=0^x=pi/2 e^cos x cdot sin x , dx = -integralu=1^u=0 e^u , du = integral0^1 e^u , du
Passo 6
Agora, a integral ficou bem simples:
integral0^1 e^u , du = e^u |0^1 = e^1 - e^0 = e - 1