Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida: integral0^pi / 2 integral0^cos x sen x d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a região de integração, inverter a ordem das integrais e calcular a integral iterada dada por . Vamos usar cálculo de integrais duplas e entender um pouco sobre regiões de integração para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos integrando. Temos variando de a e, para cada , varia de a . Isso significa que a região está limitada pela curva , o eixo e os limites de .

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos reescrever os limites de x = arccos y em termos de . Observando a curva , podemos isolar :
Então, para um valor fixo de , varia de até . Além disso, varia de a (já que e ).

Passo 4

Com a ordem invertida, a integral fica:
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Então, a integral se simplifica para:
integral0^1 integralarccos y^pi/2 sen x , dx , dy

Passo 5

Agora, resolvemos a integral restante:
integral0^1 y , dy = 12 y^2 g|0^1 = 12(1)^2 - 12(0)^2 = 12

Resposta

A integral vale .

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