Utilize a integral dupla para determinar a área das regiões abaixo: A região dentro do círculo e fora de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está dentro do círculo definido por e fora do cardioide . Para isso, vamos usar integrais duplas em coordenadas polares, que é uma ferramenta poderosa para calcular áreas de regiões definidas por curvas nesses sistemas. Vamos precisar entender como configurar essa integral e determinar os limites corretos para integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde essas duas curvas se encontram. Isso é importante porque esses pontos de interseção vão definir os limites de integração para a nossa área. Igualamos as duas equações:
Resolvendo para :
Os valores de que satisfazem são e . Porém, como estamos lidando com coordenadas polares, podemos considerar o intervalo de a para cobrir toda a área uma vez.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral para encontrar a área. Em coordenadas polares, a área entre duas curvas e de a é dada por:
No nosso caso, e , com e .

Passo 4

Vamos substituir esses valores na fórmula da área:
Calculando os quadrados:
Substituindo de volta na integral:

Passo 5

Vamos simplificar e resolver a integral term by term. Primeiro, usamos a identidade trigonométrica para :
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Calculando cada integral:
Aplicando os limites de integração:
Simplificando:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo:
Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo :
Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Calcule as integrais abaixo: