Utilize a integral dupla para determinar a área das regiões abaixo: A região dentro do círculo
e fora de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está dentro do círculo definido por
e fora do cardioide
. Para isso, vamos usar integrais duplas em coordenadas polares, que é uma ferramenta poderosa para calcular áreas de regiões definidas por curvas nesses sistemas. Vamos precisar entender como configurar essa integral e determinar os limites corretos para integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde essas duas curvas se encontram. Isso é importante porque esses pontos de interseção vão definir os limites de integração para a nossa área. Igualamos as duas equações:
Resolvendo para
:
Os valores de
que satisfazem
são
e
. Porém, como estamos lidando com coordenadas polares, podemos considerar o intervalo de
a
para cobrir toda a área uma vez.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral para encontrar a área. Em coordenadas polares, a área
entre duas curvas
e
de
a
é dada por:
No nosso caso,
e
, com
e
.
Passo 4
Vamos substituir esses valores na fórmula da área:
Calculando os quadrados:
Substituindo de volta na integral:
Passo 5
Vamos simplificar e resolver a integral term by term. Primeiro, usamos a identidade trigonométrica para
:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Calculando cada integral:
Aplicando os limites de integração:
Simplificando:
Resposta
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Calcule as integrais abaixo:
Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo
:
Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Calcule as integrais abaixo: