Calcule as integrais abaixo: integral0^2 integraly / 2^1 e^-x^2 d x d y

Passo 1

Beleza, pessoal! Temos aqui um exercício que envolve calcular uma integral dupla: . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e também conhecer um pouco sobre a função erro, já que a integral de não tem uma antiderivada simples. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Aqui, varia de 0 a 2, e para cada , varia de até 1. Imagina um gráfico , onde a linha é uma reta que começa na origem e sobe até o ponto . A região de integração está entre essa reta e a linha vertical , de até .

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos trocar a ordem dos limites. Em vez de integral0^1 integral0^2x e^-x^2 , dy , dx variar primeiro, vamos deixar variar de 0 a 1. Para cada , vai de 0 até (porque significa ). Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna com relação a integral0^2x e^-x^2 , dy = e^-x^2 cdot y |0^2x = e^-x^2 cdot (2x - 0) = 2x cdot e^-x^2 . Note que integral0^1 2x cdot e^-x^2 , dx não depende de , então podemos tratar como uma constante:
Agora, nossa integral dupla simplifica para:

Passo 5

Para resolver 2 integral x cdot e^-x^2 , dx = 2 cdot ( -12 integral e^u , du ) = -integral e^u , du = -e^u + C , fazemos uma substituição simples. Vamos deixar -e^-x^2 + C , então ( -e^-1 ) - ( -e^0 ) = -1e + 1 = 1 - 1e , ou seja, . Substituindo:
Voltando para :
Avaliando de 0 a 1:

Resposta

A integral vale .

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