Beleza, pessoal! Temos aqui um exercício que envolve calcular uma integral dupla: . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e também conhecer um pouco sobre a função erro, já que a integral de não tem uma antiderivada simples. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Aqui, varia de 0 a 2, e para cada , varia de até 1. Imagina um gráfico , onde a linha é uma reta que começa na origem e sobe até o ponto . A região de integração está entre essa reta e a linha vertical , de até .
Passo 3
Agora, para facilitar a integração, vamos trocar a ordem dos limites. Em vez de variar primeiro, vamos deixar variar de 0 a 1. Para cada , vai de 0 até (porque significa ). Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna com relação a . Note que não depende de , então podemos tratar como uma constante:
Agora, nossa integral dupla simplifica para:
Passo 5
Para resolver , fazemos uma substituição simples. Vamos deixar , então , ou seja, . Substituindo: