Calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, pessoal! Temos aqui um exercício que envolve calcular uma integral dupla: . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e também conhecer um pouco sobre a função erro, já que a integral de não tem uma antiderivada simples. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Aqui, varia de 0 a 2, e para cada , varia de até 1. Imagina um gráfico , onde a linha é uma reta que começa na origem e sobe até o ponto . A região de integração está entre essa reta e a linha vertical , de até .

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos trocar a ordem dos limites. Em vez de variar primeiro, vamos deixar variar de 0 a 1. Para cada , vai de 0 até (porque significa ). Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna com relação a . Note que não depende de , então podemos tratar como uma constante:
Agora, nossa integral dupla simplifica para:

Passo 5

Para resolver , fazemos uma substituição simples. Vamos deixar , então , ou seja, . Substituindo:
Voltando para :
Avaliando de 0 a 1:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo:
Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo, encontre tal que .
.
Calcule
.