Calcule as integrais abaixo: integral0^pi integraly^pi sen xx d x d y

Passo 1

Vamos começar resumindo o enunciado: precisamos calcular a integral dupla . Esse exercício envolve cálculo de integrais duplas, especificamente integrando uma função que inclui o seno. Para resolver, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Originalmente, varia de a e, para cada valor de , varia de a . Isso significa que estamos integrando sobre a área triangular onde .

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem das integrações. Em vez de integrar primeiro em integral0^pi integral0^x sin xx ,dy,dx e depois em , vamos integrar primeiro em e depois em . Com essa troca, varia de a e, para cada , varia de a . A integral fica assim:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em integral0^x sin xx ,dy :
sin xx cdot y |0^x = sin xx cdot x = sin x
Aqui, é constante em relação a , então a integral se simplifica para:

Passo 5

Agora, sobra apenas integrar integral0^pi sin x ,dx em relação a -cos x |0^pi = -cos pi + cos 0 = -(-1) + 1 = 2 :
A integral de é , então:

Resposta

A integral dupla vale 2.

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