Calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Vamos começar resumindo o enunciado: precisamos calcular a integral dupla . Esse exercício envolve cálculo de integrais duplas, especificamente integrando uma função que inclui o seno. Para resolver, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Originalmente, varia de a e, para cada valor de , varia de a . Isso significa que estamos integrando sobre a área triangular onde .

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem das integrações. Em vez de integrar primeiro em e depois em , vamos integrar primeiro em e depois em . Com essa troca, varia de a e, para cada , varia de a . A integral fica assim:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em :
Aqui, é constante em relação a , então a integral se simplifica para:

Passo 5

Agora, sobra apenas integrar em relação a :
A integral de é , então:

Resposta

A integral dupla vale 2.

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Utilize a integral dupla para determinar a área das regiões abaixo: A região dentro do círculo e fora de .
Calcule as integrais abaixo:
Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo, encontre tal que .
.