Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo, encontre tal que .
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função tal que o gradiente de seja igual a . Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais conservativos na matéria de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, para saber se o campo é conservativo, precisamos verificar se o rotacional de é igual a zero. O rotacional, ou curl, de um campo vetorial é dado por:
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:
Como todas as componentes do rotacional são zero, temos que . Portanto, o campo é conservativo.

Passo 3

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função tal que . Isso significa que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar :
  1. Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende somente de e .
  1. Usando a segunda equação:
Igualando:
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende somente de .
  1. Usando a terceira equação:
Igualando:
Integrando :
Podemos considerar a constante como zero para simplificar.

Resposta

A função que satisfaz é:

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Calcule as integrais abaixo:
Calcule as integrais abaixo:
Calcule
.
Calcule a integral tripla
, onde é o hemisfério sólido .