Determine se o campo
é conservativo. Em caso afirmativo, encontre
tal que
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função
tal que o gradiente de
seja igual a
. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais conservativos na matéria de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, para saber se o campo
é conservativo, precisamos verificar se o rotacional de
é igual a zero. O rotacional, ou curl, de um campo vetorial
é dado por:
Vamos calcular cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Como todas as componentes do rotacional são zero, temos que
. Portanto, o campo
é conservativo.
Passo 3
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar
:
- Integrando em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende somente de
e
.
- Usando a segunda equação:
Igualando:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função que depende somente de
.
- Usando a terceira equação:
Igualando:
Integrando
:
Podemos considerar a constante como zero para simplificar.
Resposta
A função
que satisfaz
é:
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Calcule as integrais abaixo:
Calcule as integrais abaixo:
Calcule
.
Calcule a integral tripla
, onde
é o hemisfério sólido
.