Calcule
.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que envolve calcular a integral dupla:
Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar usar a mudança de coordenadas para coordenadas polares, já que a região de integração é um quarto de círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. A integral dupla está definida para de 0 a 1 e para cada , vai de 0 até . Isso descreve um quarto de círculo com raio 1 no primeiro quadrante.
Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, onde e . Nessas coordenadas, e o elemento de área se transforma em .

Passo 3

Substituindo na integral original, temos:
Aqui, os limites de vão de a (primeiro quadrante) e vai de 0 a 1 (raio do círculo).

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Para resolver essa integral, usamos uma substituição simples. Seja . Então, a derivada de em relação a é , o que significa que .

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
Essa é uma integral básica de cosseno. Integrando, obtemos:

Passo 6

Agora, voltamos à integral externa em relação a :

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo, encontre tal que .
.
Calcule as integrais abaixo:
Calcule a integral tripla
, onde é o hemisfério sólido .
Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo, encontre tal que .
.