Calcule
integral0^1 integral0^raiz1-y^2 cos (pi(x^2+y^2)2) d x d y.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que envolve calcular a integral dupla:
integral0^1 integral0^raiz1-y^2 cos (pi(x^2+y^2)2) , dx , dy
Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar usar a mudança de coordenadas para coordenadas polares, já que a região de integração é um quarto de círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. A integral dupla está definida para de 0 a 1 e para cada , vai de 0 até . Isso descreve um quarto de círculo com raio 1 no primeiro quadrante.
Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, onde e . Nessas coordenadas, e o elemento de área se transforma em .

Passo 3

Substituindo na integral original, temos:
integral0^pi2 integral0^1 cos(pi r^22) cdot r , dr , dtheta
Aqui, os limites de vão de a (primeiro quadrante) e vai de 0 a 1 (raio do círculo).

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^1 r cos(pi r^22) , dr :
Para resolver essa integral, usamos uma substituição simples. Seja . Então, a derivada de em relação a é , o que significa que .

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
1pi integral0^pi2 cos(u) , du
Essa é uma integral básica de cosseno. Integrando, obtemos:
1pi [ sin(u) ]0^pi2 = 1pi ( sin(pi2) - sin(0) ) = 1pi (1 - 0) = 1pi

Passo 6

Agora, voltamos à integral externa em relação a integral0^pi2 1pi , dtheta = 1pi [ theta ]0^pi2 = 1pi ( pi2 - 0 ) = 12 :

Resposta

O valor da integral é .

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