Calcule
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que envolve calcular a integral dupla:
Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar usar a mudança de coordenadas para coordenadas polares, já que a região de integração é um quarto de círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. A integral dupla está definida para
de 0 a 1 e para cada
,
vai de 0 até
. Isso descreve um quarto de círculo com raio 1 no primeiro quadrante.
Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, onde
e
. Nessas coordenadas,
e o elemento de área
se transforma em
.
Passo 3
Substituindo na integral original, temos:
Aqui, os limites de
vão de
a
(primeiro quadrante) e
vai de 0 a 1 (raio do círculo).
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Para resolver essa integral, usamos uma substituição simples. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é
, o que significa que
.
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Essa é uma integral básica de cosseno. Integrando, obtemos:
Passo 6
Agora, voltamos à integral externa em relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Determine se o campo
é conservativo. Em caso afirmativo, encontre
tal que
.
.
Calcule as integrais abaixo:
Calcule a integral tripla
, onde
é o hemisfério sólido
.
Determine se o campo
é conservativo. Em caso afirmativo, encontre
tal que
.
.