Calcule as integrais abaixo: integral0^1 integraly^1 x^2 sen(x y) d x d y c) integral0^pi integraly^pi sen xx d x d y

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla . Esse exercício envolve integrais duplas, que são usadas para calcular áreas ou volumes sob superfícies definidas por funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração, o que simplifica muito o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de a e, para cada , varia de a . Isso significa que estamos integrando sobre a região triangular onde e .

Passo 3

Para facilitar a resolução, vamos mudar a ordem das integrações. Em vez de integrar primeiro em integral0^pi integral0^x sin xx , dy , dx e depois em , vamos integrar primeiro em e depois em . Com isso, varia de a , e para cada , varia de a .
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna integral0^x sin xx , dy = sin xx cdot integral0^x dy = sin xx cdot x = sin x . Note que é uma função que depende apenas de , então podemos tratá-la como uma constante em relação a .

Passo 5

Agora, temos que resolver a integral resultante integral0^pi sin x , dx = -cos x |0^pi = -cos pi + cos 0 = -(-1) + 1 = 2 . Essa é uma integral básica de cálculo.

Resposta

O valor da integral dupla é 2.

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