Calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla . Esse exercício envolve integrais duplas, que são usadas para calcular áreas ou volumes sob superfícies definidas por funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração, o que simplifica muito o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de a e, para cada , varia de a . Isso significa que estamos integrando sobre a região triangular onde e .

Passo 3

Para facilitar a resolução, vamos mudar a ordem das integrações. Em vez de integrar primeiro em e depois em , vamos integrar primeiro em e depois em . Com isso, varia de a , e para cada , varia de a .
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna . Note que é uma função que depende apenas de , então podemos tratá-la como uma constante em relação a .

Passo 5

Agora, temos que resolver a integral resultante . Essa é uma integral básica de cálculo.

Resposta

O valor da integral dupla é 2.

Exercícios relacionados

Considere a integral
c) Inverta a ordem de integração e calcule a nova integral iterada e compare o resultado obtido em a)
Seja a região em limitada pelas linhas e . Determine o valor de sen , sem realizar o cálculo das integrais iteradas.
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
In Problems 1-18 use Definition 7.1.1 to find .