Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla
. Esse exercício envolve integrais duplas, que são usadas para calcular áreas ou volumes sob superfícies definidas por funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração, o que simplifica muito o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos
variando de
a
e, para cada
,
varia de
a
. Isso significa que estamos integrando sobre a região triangular onde
e
.
Passo 3
Para facilitar a resolução, vamos mudar a ordem das integrações. Em vez de integrar primeiro em
e depois em
, vamos integrar primeiro em
e depois em
. Com isso,
varia de
a
, e para cada
,
varia de
a
.
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna
. Note que
é uma função que depende apenas de
, então podemos tratá-la como uma constante em relação a
.
Passo 5
Agora, temos que resolver a integral resultante
. Essa é uma integral básica de cálculo.
Resposta
O valor da integral dupla é 2.