Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração: integral0^1 integral0^(1-x^2) / 2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma integral iterada: . Isso está relacionado ao cálculo de integrais duplas, onde a gente integra uma função em duas variáveis, nesse caso e . Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e como representar a região onde vamos calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral externa é de a , e para cada valor de , vai de até . Isso significa que a região que estamos integrando está delimitada por esses valores de e .

Passo 3

Agora, vamos esboçar a região. No eixo , vamos de 0 a 1. Para cada nesse intervalo, começa em 0 e vai até . A equação representa uma parábola invertida. Então, a região está abaixo dessa parábola e acima do eixo , entre e .

Passo 4

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^(1-x^2)/2 dy = y |0^(1-x^2)/2 = 1 - x^22 :
integral0^1 1 - x^22 dx
Agora, substituímos isso na integral externa:

Passo 5

Vamos resolver a integral externa:
integral0^1 1 - x^22 dx = 12 integral0^1 (1 - x^2) dx
Integrando termo a termo:
12 [ x - x^33 ]0^1 = 12 (1 - 13) = 12 times 23 = 13

Resposta

O valor da integral iterada é .

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