In Problems 1-18 use Definition 7.1.1 to find .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função usando a Definição 7.1.1. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a definição da Transformada de Laplace e manipular exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. A definição dela é:
Isso significa que a Transformada de Laplace de é uma integral imprópria onde multiplicamos por e integramos de 0 ao infinito.

Passo 3

Agora, vamos substituir pela função dada no exercício:
Podemos simplificar a expressão dentro da integral combinando os expoentes:

Passo 4

Como é uma constante em relação a , podemos tirá-la da integral:
Agora, precisamos resolver a integral:
Para que essa integral converja, o expoente deve ser negativo, ou seja, .

Passo 5

Calculando a integral:
Quando vai para infinito, e , tende a zero. Quando , . Então:

Resposta

Portanto, a Transformada de Laplace de é:

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Calcule as integrais abaixo:
In Problems 1-18 use Definition 7.1.1 to find .
Use this definition to show that .
We have encountered the gamma function in our study of Bessel functions in Section 6.4 (page 258). One definition of this function is given by the improper integral