In Problems 1-18 use Definition 7.1.1 to find
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função
usando a Definição 7.1.1. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a definição da Transformada de Laplace e manipular exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. A definição dela é:
Isso significa que a Transformada de Laplace de
é uma integral imprópria onde multiplicamos
por
e integramos de 0 ao infinito.
Passo 3
Agora, vamos substituir
pela função dada no exercício:
Podemos simplificar a expressão dentro da integral combinando os expoentes:
Passo 4
Como
é uma constante em relação a
, podemos tirá-la da integral:
Agora, precisamos resolver a integral:
Para que essa integral converja, o expoente
deve ser negativo, ou seja,
.
Passo 5
Calculando a integral:
Quando
vai para infinito, e
,
tende a zero. Quando
,
. Então:
Resposta
Portanto, a Transformada de Laplace de
é: