In Problems 1-18 use Definition 7.1.1 to find
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função
usando a Definição 7.1.1. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a definição da Transformada de Laplace e manipular exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. A definição dela é:
Isso significa que a Transformada de Laplace de
é uma integral imprópria onde multiplicamos
por
e integramos de 0 ao infinito.
Passo 3
Agora, vamos substituir
pela função dada no exercício:
Podemos simplificar a expressão dentro da integral combinando os expoentes:
Passo 4
Como
é uma constante em relação a
, podemos tirá-la da integral:
Agora, precisamos resolver a integral:
Para que essa integral converja, o expoente
deve ser negativo, ou seja,
.
Passo 5
Calculando a integral:
Quando
vai para infinito, e
,
tende a zero. Quando
,
. Então:
Resposta
Portanto, a Transformada de Laplace de
é:
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Calcule as integrais abaixo:
In Problems 1-18 use Definition 7.1.1 to find
.
Use this definition to show that
.
We have encountered the gamma function in our study of Bessel functions in Section 6.4 (page 258). One definition of this function is given by the improper integral
We have encountered the gamma function