Calcule as integrais abaixo integral0^pi / 4 sec ^4 theta d theta

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma função trigonométrica ao quadrado. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que . Então, .

Passo 3

Para integrar sec^2 theta = 1 + tan^2 theta , podemos usar uma identidade trigonométrica que relaciona com . Sabemos que:

Passo 4

Vamos reescrever a integral usando essa identidade:
integral sec^4 theta , dtheta = integral sec^2 theta cdot sec^2 theta , dtheta = integral sec^2 theta (1 + tan^2 theta) , dtheta

Passo 5

Agora, distribuindo integral sec^4 theta , dtheta = integral sec^2 theta , dtheta + integral sec^2 theta tan^2 theta , dtheta :

Passo 6

Sabemos que a integral de é . Para a segunda integral, podemos usar substituição. Vamos definir , então .

Passo 7

Com essa substituição, a segunda integral fica:
integral sec^2 theta tan^2 theta , dtheta = integral u^2 , du = u^33 + C = tan^3 theta3 + C

Passo 8

Portanto, juntando as duas integrais:
integral sec^4 theta , dtheta = tan theta + tan^3 theta3 + C

Passo 9

Agora, vamos calcular a integral definida de 0 a [ tan theta + tan^3 theta3 ]0^pi / 4 :

Passo 10

Calculando em tan ( pi4 ) = 1 e tan^3 ( pi4 ) = 1^3 = 1 :
1 + 13 = 43
Então:
tan(0) = 0 e tan^3(0) = 0
Em 0 + 03 = 0 :
Então:

Resposta

A integral é igual a .

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