Dada a função
g(x) = { -x^2 + b*x - 6 se x > 2; a*x + b se 0 <= x <= 2; -x^2 + 5*x - 1 se x < 0 }
Encontrar os valores de a e b que tornam g contínua.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função chamada g(x) que muda de expressão dependendo do valor de x. Nosso objetivo é encontrar os valores de a e b que fazem essa função ser contínua. Isso quer dizer que não pode ter “quebras” ou “saltos” no gráfico da função. Para isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções e como igualar os limites nas pontas onde a função muda de expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função muda de expressão. Olhando para g(x), vemos que isso acontece em x = 0 e x = 2. Para a função ser contínua nesses pontos, o limite que a gente tem quando se aproxima desses valores pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função naquele ponto.

Passo 3

Vamos começar pelo ponto x = 0. A gente precisa garantir que o limite de g(x) quando x se aproxima de 0 pela esquerda seja igual ao limite quando se aproxima pela direita, e que ambos sejam iguais a g(0).
Para , a função é .
Para 0 <= x <= 2, a função é .
Portanto:
Para continuidade:

Passo 4

Agora, vamos para o ponto x = 2. Novamente, precisamos igualar os limites pela esquerda e pela direita e ao valor da função.
Para 0 <= x <= 2, a função é .
Para x > 2, a função é .
Portanto:
Para continuidade:

Passo 5

Já sabemos de x = 0 que . Vamos substituir esse valor na equação que obtivemos em x = 2:
Simplificando:

Resposta

Os valores que tornam g contínua são e .

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