Verifique que f(x)-sin raiz[3]x é uma função ímpar e use este fato para mostrar que
0 <= integral-2^3 sin raiz[3]x d x <= 1

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função 0 <= integral-2^3 sin raiz[3]x , dx <= 1 e precisamos verificar se ela é uma função ímpar. Além disso, usaremos essa propriedade para mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre funções pares e ímpares, propriedades de integrais, e algumas técnicas básicas de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função ímpar. Uma função g(-x) = -g(x) é ímpar se:
Vamos aplicar isso à nossa função .

Passo 3

Calculando f(-x) - sin raiz[3]-x :
Agora, precisamos expressar isso em termos de .

Passo 4

Sabemos que f(-x) - sin(-raiz[3]x) = f(-x) + sin raiz[3]x porque a raiz cúbica de um número negativo é o negativo da raiz cúbica desse número positivo. Então:

Passo 5

Para que f(-x) + sin raiz[3]x = -(f(x) - sin raiz[3]x) seja ímpar, precisamos que:
f(-x) + sin raiz[3]x = -f(x) + sin raiz[3]x
Simplificando o lado direito:

Passo 6

Comparando os dois lados da equação:
f(-x) = -f(x)
Isso mostra que também é uma função ímpar. Portanto, é uma função ímpar.

Passo 7

Agora, vamos usar essa propriedade para calcular a integral:
integral-2^3 sin raiz[3]x , dx
Sabemos que está envolvida na função ímpar que discutimos. Vamos dividir a integral em duas partes: de -2 a 0 e de 0 a 3.

Passo 8

Primeiro, calculemos integral-a^0 sin raiz[3]x , dx = -integral0^a sin raiz[3]x , dx . Como integral-2^0 sin raiz[3]x , dx = -integral0^2 sin raiz[3]x , dx é uma função ímpar, sabemos que:
Então, para :

Passo 9

Agora, nossa integral original fica:
integral-2^3 sin raiz[3]x , dx = -integral0^2 sin raiz[3]x , dx + integral0^3 sin raiz[3]x , dx
Para simplificar, podemos combinar as integrais:
-integral0^2 sin raiz[3]x , dx + integral0^3 sin raiz[3]x , dx = integral2^3 sin raiz[3]x , dx

Passo 10

Agora, precisamos estimar essa última integral:
integral2^3 sin raiz[3]x , dx
Sabemos que está entre -1 e 1 para todo . Mas, como estamos integrando de 2 a 3, e é positivo nessa faixa, também será positivo ou negativo dependendo do valor de .

Passo 11

Para simplificar, consideramos os valores máximos e mínimos possíveis da função -1 <= sin raiz[3]x <= 1 . Sabemos que:
-1 cdot (3 - 2) <= integral2^3 sin raiz[3]x , dx <= 1 cdot (3 - 2)
Então, quando integramos de 2 a 3:
-1 <= integral2^3 sin raiz[3]x , dx <= 1
O que dá:

Passo 12

Voltando à nossa integral original:
integral-2^3 sin raiz[3]x , dx = integral2^3 sin raiz[3]x , dx
Então, combinando com a desigualdade que encontramos:
-1 <= integral-2^3 sin raiz[3]x , dx <= 1
Como a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero, e estamos considerando apenas uma parte positiva, ajustamos para:
0 <= integral-2^3 sin raiz[3]x , dx <= 1

Resposta

Portanto, mostramos que:
0 <= integral-2^3 sin raiz[3]x , dx <= 1

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