Verifique que
é uma função ímpar e use este fato para mostrar que
Passo 1
Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos verificar se ela é uma função ímpar. Além disso, usaremos essa propriedade para mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre funções pares e ímpares, propriedades de integrais, e algumas técnicas básicas de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função ímpar. Uma função
é ímpar se:
Vamos aplicar isso à nossa função
.
Passo 3
Calculando
:
Agora, precisamos expressar isso em termos de
.
Passo 4
Sabemos que
porque a raiz cúbica de um número negativo é o negativo da raiz cúbica desse número positivo. Então:
Passo 5
Para que
seja ímpar, precisamos que:
Simplificando o lado direito:
Passo 6
Comparando os dois lados da equação:
Isso mostra que
também é uma função ímpar. Portanto,
é uma função ímpar.
Passo 7
Agora, vamos usar essa propriedade para calcular a integral:
Sabemos que
está envolvida na função ímpar que discutimos. Vamos dividir a integral em duas partes: de -2 a 0 e de 0 a 3.
Passo 8
Primeiro, calculemos
. Como
é uma função ímpar, sabemos que:
Então, para
:
Passo 9
Agora, nossa integral original fica:
Para simplificar, podemos combinar as integrais:
Passo 10
Agora, precisamos estimar essa última integral:
Sabemos que
está entre -1 e 1 para todo
. Mas, como estamos integrando de 2 a 3, e
é positivo nessa faixa,
também será positivo ou negativo dependendo do valor de
.
Passo 11
Para simplificar, consideramos os valores máximos e mínimos possíveis da função
. Sabemos que:
Então, quando integramos de 2 a 3:
O que dá:
Passo 12
Voltando à nossa integral original:
Então, combinando com a desigualdade que encontramos:
Como a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero, e estamos considerando apenas uma parte positiva, ajustamos para:
Resposta
Portanto, mostramos que: