Calcule as integrais abaixo integral0^1 / raiz2 2 x sin ^-1(x^2) d x

Passo 1

Então, vamos resolver a integral . Esse exercício está ligado ao cálculo de integrais, especificamente utilizando técnicas de substituição e integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essas técnicas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, observamos que a integral tem a forma t = x^2 . Uma boa estratégia aqui é usar uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir:
dt = 2x , dx
Então, a derivada de integral sin^-1(t) , dt em relação a é:
Isso significa que . Com essa substituição, a integral fica mais simples:

Passo 3

Agora, precisamos integrar integral u , dv = uv - integral v , du . Para isso, vamos usar a integração por partes, que é uma técnica que nos ajuda a integrar produtos de funções. A fórmula da integração por partes é:
u = sin^-1(t) e dv = dt
Vamos escolher:
du = 1raiz1 - t^2 , dt e v = t
Então, calculamos integral sin^-1(t) , dt = t sin^-1(t) - integral traiz1 - t^2 , dt e :
Aplicando a fórmula:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral w = 1 - t^2 então dw = -2t , dt Rightarrow t , dt = -dw2 . Vamos fazer uma nova substituição para simplificar:
integral traiz1 - t^2 , dt = -12 integral 1raizw , dw = -12 cdot 2raizw + C = -raiz1 - t^2 + C ã
Substituindo na integral:
integral sin^-1(t) , dt = t sin^-1(t) + raiz1 - t^2 + C
Portanto, a expressão anterior fica:

Passo 5

Agora, voltamos às nossas variáveis originais. Lembrando que [ t sin^-1(t) + raiz1 - t^2 ]0^12 = ( 12 sin^-1(12) + raiz1 - (12)^2 ) - ( 0 + raiz1 - 0 ) , e os limites de integração também mudaram. Quando , ; e quando , . Portanto, avaliamos a expressão entre 0 e :

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
  1. ( 12 cdot pi6 + raiz32 ) - 1 = pi12 + raiz32 - 1 , porque .
  2. .
  3. .
Substituindo:

Resposta

A integral pi12 + raiz32 - 1 é igual a:

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