Use as propriedades do exercício anterior para mostrar que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar as propriedades do exercício anterior (que a gente não tem aqui, mas vamos supor que envolve somas de potências) para mostrar que a soma dos cubos dos números de 1 até
é igual a
. Isso está relacionado com somatórios e propriedades de séries matemáticas. Vamos precisar usar fórmulas de somas de potências e manipulações algébricas para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a soma dos cubos pode ser expressa como:
E queremos provar que isso é igual a:
Passo 3
Vamos começar expandindo a expressão da soma dos cubos. Sabemos que
pode ser reescrito de uma forma que facilite a soma. Vamos tentar expressar
em termos de
,
e
:
Mas, na verdade, para somar os cubos, precisamos usar as propriedades de somatórios. Uma fórmula conhecida para a soma dos cubos é:
Passo 4
Vamos expandir essa fórmula para ver se chegamos na expressão que o exercício pede. Primeiro, calculamos
:
Agora, elevamos ao quadrado:
Passo 5
Agora, vamos separar os termos da fração:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais indicadas:
a)
a)
A temperatura em um ponto
de uma placa plana de metal é dada por
, onde
é medido em
e
em metros. Determine a taxa de variação da temperatura com relação à distância no ponto (2,1) em (a) a direção do eixo
Calcule a partir da definição as seguintes integrais:
Calcule as integrais abaixo.
;