Calcule as integrais abaixo: integral0^pi4 tg^3 x sec ^2 x dx

Passo 1

Beleza, a gente tem que calcular a integral de de 0 até . Isso envolve integração de funções trigonométricas, especificamente tangente e secante. Vamos precisar usar substituição para simplificar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar . Assim, a derivada de em relação a é . Isso significa que .

Passo 3

Agora, substituímos na integral original. A gente tinha:
integral tan^3 x sec^2 x , dx
Com a substituição, isso vira:
integral u^3 , du
porque e .

Passo 4

Agora é só integrar integral u^3 , du = u^44 + C em relação a . A integral de é . Então:
Onde é a constante de integração, mas como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos incluir .

Passo 5

Vamos voltar para a variável original u^44 = tan^4 x4 . Lembrando que , temos:
Agora, avaliamos essa expressão de 0 até .

Passo 6

Primeiro, calculamos para tan^4 ( pi4 )4 = 1^44 = 14 :
tan^4 (0)4 = 0^44 = 0
Pois .
Depois, para :

Passo 7

Subtraímos o valor em 0 do valor em 14 - 0 = 14 :

Resposta

A integral vale .

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