Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, a gente tem que calcular a integral de
de 0 até
. Isso envolve integração de funções trigonométricas, especificamente tangente e secante. Vamos precisar usar substituição para simplificar essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar
. Assim, a derivada de
em relação a
é
. Isso significa que
.
Passo 3
Agora, substituímos na integral original. A gente tinha:
Com a substituição, isso vira:
porque
e
.
Passo 4
Agora é só integrar
em relação a
. A integral de
é
. Então:
Onde
é a constante de integração, mas como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos incluir
.
Passo 5
Vamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, temos:
Agora, avaliamos essa expressão de 0 até
.
Passo 6
Primeiro, calculamos para
:
Pois
.
Depois, para
:
Passo 7
Subtraímos o valor em 0 do valor em
:
Resposta
A integral vale
.