Suponha que ao se consumir x m^3 de água por mês, o valor mensal a ser pago seja de q(x) reais. Quando x é menor ou igual a 15 , paga-se 3 x e, quando é maior, paga-se 4 x + a, onde a é uma constante.
Considerando o contexto da questão, determine a expressão da função q(x) e explique porque ela possui comportamento estranho caso a constate a seja zero.
Resposta:
q(x) = { 3x, x <= 15; 4x + a, x > 15 }
Caso a = 0, ela possui comportamento estranho pois o 16 grau m^3 de água custa 19 reais, muito mais caro do que qualquer outro.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa o valor que a gente paga por mês ao consumir metros cúbicos de água. O enunciado nos dá duas situações diferentes:
  1. Se o consumo for até 15 m³, o valor pago é reais.
  2. Se o consumo for maior que 15 m³, o valor pago é , onde é uma constante.
Vamos precisar montar essa função por partes e depois analisar o que acontece quando .

Passo 2

Vamos definir a função de forma que ela tenha essas duas partes, dependendo do valor de . Isso é conhecido como função definida por partes. A gente escreve assim:
Aqui, para qualquer consumo até 15 m³, multiplicamos o consumo por 3. Se o consumo exceder 15 m³, usamos a segunda expressão, onde o custo por m³ aumenta para 4 e adicionamos uma constante .

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece quando . Substituindo por zero na segunda parte da função, temos:
Vamos ver como fica isso no ponto onde . Se :
  • Pela primeira parte, reais.
  • Pela segunda parte, se for um pouquinho maior que 15, como 16 m³, reais.
Isso significa que há um aumento repentino no preço quando passa de 15 para 16 m³, passando de 45 para 64 reais. Esse salto representa um comportamento estranho porque não há uma transição suave no custo, deixando uma diferença abrupta que pode ser confusa para quem está consumindo água.

Passo 4

Esse comportamento estranho ocorre porque, com , a função não mantém a continuidade no ponto . Ou seja, não existe um valor de que faça com que seja a mesma exatamente em e , resultando em um salto na função.

Resposta

A função é definida por:
Se a constante for zero, a função apresenta um comportamento estranho porque há um aumento abrupto no valor pago ao passar de 15 para 16 m³ de água, passando de 45 para 64 reais, sem uma transição suave.

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