(2,5 pontos) Usando uma mudança de variáveis apropriada, calcule a integral, onde é a região trapezoidal limitada pelas retas e .
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla , onde a região é um trapézio limitado pelas retas , , e . Para facilitar o cálculo, vamos usar uma mudança de variáveis, ou seja, escolher novas variáveis que simplifiquem a expressão dentro do cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as novas variáveis:
Essas escolhas ajudam a simplificar o argumento do cosseno, já que ele depende de .
Passo 3
Agora, precisamos expressar e em termos de e . Resolvendo as equações acima:
Essas expressões nos permitem mudar as variáveis na integral.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o determinante jacobiano dessa mudança de variáveis, que nos ajuda a ajustar a área de integração:
Então, .
Passo 5
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para as novas variáveis e :
As retas e se tornam e , respectivamente.
As retas e se traduzem em e .
Portanto, varia de 1 a 2, e para cada , varia de a .
Passo 6
Substituindo tudo na integral original, temos:
integral duplaR cos(vu) cdot |J| , du , dv = integral1^2 integral-u^u cos(vu) cdot 12 , dv , du
Passo 7
Vamos primeiro integrar em relação a integral-u^u cos(vu) dv :
u integral-1^1 cos(t) dt = u [ sin(t) ]-1^1 = u ( sin(1) - sin(-1) ) = 2u sin(1)
Fazendo a substituição , , a integral se torna:
Passo 8
Substituindo de volta na integral em integral1^2 12 cdot 2u sin(1) , du = integral1^2 u sin(1) , du :
Passo 9
Finalmente, integramos em relação a sin(1) integral1^2 u , du = sin(1) [ u^22 ]1^2 = sin(1) ( 42 - 12 ) = 32 sin(1) :