(2,5 pontos) Usando uma mudança de variáveis apropriada, calcule a integral, integral duplaR cos (y-xy+x) d A onde R é a região trapezoidal limitada pelas retas y+x=1, y+x=2, y=0 e x=0.

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla , onde a região é um trapézio limitado pelas retas , , e . Para facilitar o cálculo, vamos usar uma mudança de variáveis, ou seja, escolher novas variáveis que simplifiquem a expressão dentro do cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as novas variáveis:
u = y + x
v = y - x
Essas escolhas ajudam a simplificar o argumento do cosseno, já que ele depende de .

Passo 3

Agora, precisamos expressar x = u - v2 e y = u + v2 em termos de e . Resolvendo as equações acima:
Essas expressões nos permitem mudar as variáveis na integral.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o determinante jacobiano dessa mudança de variáveis, que nos ajuda a ajustar a área de integração:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 12 & -12 12 & 12 = (12 cdot 12) - (-12 cdot 12) = 14 + 14 = 12
Então, .

Passo 5

Agora, precisamos ajustar os limites de integração para as novas variáveis e :
  • As retas e se tornam e , respectivamente.
  • As retas e se traduzem em e .
Portanto, varia de 1 a 2, e para cada , varia de a .

Passo 6

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral duplaR cos(vu) cdot |J| , du , dv = integral1^2 integral-u^u cos(vu) cdot 12 , dv , du

Passo 7

Vamos primeiro integrar em relação a integral-u^u cos(vu) dv :
u integral-1^1 cos(t) dt = u [ sin(t) ]-1^1 = u ( sin(1) - sin(-1) ) = 2u sin(1)
Fazendo a substituição , , a integral se torna:

Passo 8

Substituindo de volta na integral em integral1^2 12 cdot 2u sin(1) , du = integral1^2 u sin(1) , du :

Passo 9

Finalmente, integramos em relação a sin(1) integral1^2 u , du = sin(1) [ u^22 ]1^2 = sin(1) ( 42 - 12 ) = 32 sin(1) :

Resposta

A integral vale .

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