Nos itens a seguir, determine a área da região indicada:
(d) cada uma das regiões determinadas pela reta y = 7 x, pelas curvas y = 8 - x^2, y = x^2 e que estão contidas no primeiro quadrante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área das regiões no primeiro quadrante que são delimitadas pela reta , pelas curvas e . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente integrais para calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde essas curvas se encontram no primeiro quadrante. Encontrar os pontos de interseção nos ajuda a definir os limites de integração para calcular a área.

Passo 3

Vamos encontrar a interseção entre a reta e a parábola :
Isso nos dá e . No primeiro quadrante, consideramos .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a interseção entre e :
No primeiro quadrante, usamos .

Passo 5

Em seguida, encontramos a interseção entre e :
Resolvendo a equação quadrática:
Considerando apenas a solução positiva:

Passo 6

Agora, temos os pontos de interseção no primeiro quadrante:
  • a : entre e
  • a : entre e
  • Além de , mas como a interseção relevante é até , focaremos nesses intervalos.

Passo 7

Vamos calcular a área em cada intervalo usando integrais:
  1. De a :
    A área é a integral da diferença entre a reta e a parábola:
  2. De a :
    A área é a integral da diferença entre a reta e a segunda parábola:

Passo 8

Calculando :

Passo 9

Calculando :
Calculando em :
Calculando em :
Então:
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:

Passo 10

Agora, somamos as áreas dos dois intervalos para obter a área total da região no primeiro quadrante:

Resposta

A área da região indicada no primeiro quadrante é 8 unidades de área.

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