Nos itens a seguir, determine a área da região indicada:
(d) cada uma das regiões determinadas pela reta
, pelas curvas
e que estão contidas no primeiro quadrante.
(d) cada uma das regiões determinadas pela reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área das regiões no primeiro quadrante que são delimitadas pela reta
, pelas curvas
e
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente integrais para calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde essas curvas se encontram no primeiro quadrante. Encontrar os pontos de interseção nos ajuda a definir os limites de integração para calcular a área.
Passo 3
Vamos encontrar a interseção entre a reta
e a parábola
:
Isso nos dá
e
. No primeiro quadrante, consideramos
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a interseção entre
e
:
No primeiro quadrante, usamos
.
Passo 5
Em seguida, encontramos a interseção entre
e
:
Resolvendo a equação quadrática:
Considerando apenas a solução positiva:
Passo 6
Agora, temos os pontos de interseção no primeiro quadrante:
-
a : entre e -
a : entre e - Além de
, mas como a interseção relevante é até , focaremos nesses intervalos.
Passo 7
Vamos calcular a área em cada intervalo usando integrais:
-
De
a : A área é a integral da diferença entre a reta e a parábola: -
De
a : A área é a integral da diferença entre a reta e a segunda parábola:
Passo 8
Calculando
:
Passo 9
Calculando
:
Calculando em
:
Calculando em
:
Então:
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Passo 10
Agora, somamos as áreas dos dois intervalos para obter a área total da região no primeiro quadrante:
Resposta
A área da região indicada no primeiro quadrante é 8 unidades de área.
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Calcule as integrais abaixo:
(j)
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Calcule as integrais abaixo:
(e)
(e)
Calcule as integrais abaixo:
(h)
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Calcule as integrais abaixo:
(l)
(l)