Calcule as integrais abaixo: integral0^3 integral0^9-x^2 x e^3 y9-y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular essa integral dupla aqui:
integral0^3 integral0^9-x^2 x e^3 y9 - y , dy , dx
Isso envolve cálculo de integrais duplas, que é uma parte do cálculo integral onde integramos em duas variáveis, geralmente em uma região do plano . Vamos precisar usar mudança de ordem de integração e algumas técnicas de substituição para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. O varia de 0 a 3. Para cada valor de , o varia de 0 até . Vamos desenhar isso no gráfico para visualizar melhor.

Passo 3

Agora, vamos mudar a ordem das integrais. Em vez de integrar primeiro em e depois em , vamos integrar primeiro em e depois em . Isso pode simplificar a gente bastante.

Passo 4

Com a ordem trocada, a integral fica assim:
integral0^9 integral0^raiz9 - y x e^3 y9 - y , dx , dy
Aqui, agora varia de 0 a 9, e para cada , vai de 0 até .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^raiz9 - y x , dx = [ x^22 ]0^raiz9 - y = (9 - y)2 :
integral0^9 e^3 y9 - y cdot 9 - y2 , dy
Então, substituindo de volta na integral, temos:

Passo 6

Simplificando a expressão, os 12 integral0^9 e^3 y , dy se cancelam:
Agora, só resta resolver essa integral simples.

Passo 7

Calculando a integral de integral e^3 y , dy = e^3 y3 + C :
12 [ e^27 - 13 ] = e^27 - 16
Aplicando os limites de 0 a 9:

Resposta

e^27 - 16

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