Calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular essa integral dupla aqui:
Isso envolve cálculo de integrais duplas, que é uma parte do cálculo integral onde integramos em duas variáveis, geralmente em uma região do plano . Vamos precisar usar mudança de ordem de integração e algumas técnicas de substituição para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. O varia de 0 a 3. Para cada valor de , o varia de 0 até . Vamos desenhar isso no gráfico para visualizar melhor.

Passo 3

Agora, vamos mudar a ordem das integrais. Em vez de integrar primeiro em e depois em , vamos integrar primeiro em e depois em . Isso pode simplificar a gente bastante.

Passo 4

Com a ordem trocada, a integral fica assim:
Aqui, agora varia de 0 a 9, e para cada , vai de 0 até .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Então, substituindo de volta na integral, temos:

Passo 6

Simplificando a expressão, os se cancelam:
Agora, só resta resolver essa integral simples.

Passo 7

Calculando a integral de :
Aplicando os limites de 0 a 9:

Resposta

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Use integral dupla para encontrar a área da região limitada por .
Calcule as integrais iteradas abaixo:
Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de , elas podem ser consideradas volumes: