Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular essa integral dupla aqui:
Isso envolve cálculo de integrais duplas, que é uma parte do cálculo integral onde integramos em duas variáveis, geralmente em uma região do plano
. Vamos precisar usar mudança de ordem de integração e algumas técnicas de substituição para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. O
varia de 0 a 3. Para cada valor de
, o
varia de 0 até
. Vamos desenhar isso no gráfico para visualizar melhor.
Passo 3
Agora, vamos mudar a ordem das integrais. Em vez de integrar primeiro em
e depois em
, vamos integrar primeiro em
e depois em
. Isso pode simplificar a gente bastante.
Passo 4
Com a ordem trocada, a integral fica assim:
Aqui,
agora varia de 0 a 9, e para cada
,
vai de 0 até
.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Então, substituindo de volta na integral, temos:
Passo 6
Simplificando a expressão, os
se cancelam:
Agora, só resta resolver essa integral simples.
Passo 7
Calculando a integral de
:
Aplicando os limites de 0 a 9:
Resposta
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Use integral dupla para encontrar a área da região limitada por
.
Calcule as integrais iteradas abaixo:
Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de
, elas podem ser consideradas volumes: