Use integral dupla para encontrar a área da região limitada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar uma integral dupla para encontrar a área da região que está limitada pelas curvas
e
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas que ajudam a calcular áreas de regiões no plano.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se intersectam, pois esses pontos vão nos dar os limites de integração. Vamos igualar as duas funções:
Passo 3
Vamos resolver a equação
:
Então, as soluções são
e
.
Passo 4
Agora que sabemos que as curvas se intersectam em
e
, vamos identificar qual função está acima da outra nesse intervalo. Sabemos que
cresce mais rapidamente do que
, então para
,
está acima de
.
Passo 5
Para encontrar a área entre as duas curvas usando uma integral dupla, vamos configurar a integral da seguinte forma:
Passo 6
Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado na integral externa:
Passo 8
Vamos integrar termo a termo:
Então,
Passo 9
Agora, avaliamos os limites de integração:
Para
:
Para
:
Então,
Passo 10
Vamos simplificar:
Como estamos falando de área, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
é
.
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo
:
Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Calcule as integrais abaixo: