Use integral dupla para encontrar a área da região limitada por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar uma integral dupla para encontrar a área da região que está limitada pelas curvas e . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas que ajudam a calcular áreas de regiões no plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se intersectam, pois esses pontos vão nos dar os limites de integração. Vamos igualar as duas funções:

Passo 3

Vamos resolver a equação :
Então, as soluções são e .

Passo 4

Agora que sabemos que as curvas se intersectam em e , vamos identificar qual função está acima da outra nesse intervalo. Sabemos que cresce mais rapidamente do que , então para , está acima de .

Passo 5

Para encontrar a área entre as duas curvas usando uma integral dupla, vamos configurar a integral da seguinte forma:
Á

Passo 6

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a :

Passo 7

Agora, substituímos o resultado na integral externa:
Á

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
Então,
Á

Passo 9

Agora, avaliamos os limites de integração:
Para :
Para :
Então,
Á

Passo 10

Vamos simplificar:
Como estamos falando de área, consideramos o valor absoluto:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é .

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo :
Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Calcule as integrais abaixo: