Calcule as integrais iteradas abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral dupla . Esse exercício envolve integrais iteradas, que são usadas para calcular áreas ou volumes sob superfícies definidas por funções de duas variáveis. Vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função em relação a , mantendo constante. Isso significa que tratamos como um número fixo enquanto integramos em .
A integral fica:

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integral de em relação a :
  1. Integral de em relação a :
  1. Integral de em relação a :

Passo 4

Agora, somamos as integrais dos três termos:

Passo 5

Em seguida, vamos integrar esse resultado em relação a , de 1 a 2:

Passo 6

Mais uma vez, integramos cada termo separadamente:
  1. Integral de em relação a :
  1. Integral de em relação a :
  1. Integral de em relação a :
Para essa integral, usamos a técnica de integração por partes. Seja e . Então, e .
Aplicando integração por partes:
Avaliando de 1 a 2:

Passo 7

Finalmente, somamos todos os resultados:
Simplificando:

Resposta

O valor da integral dupla é:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo:
Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de , elas podem ser consideradas volumes:
Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida: