Calcule as integrais iteradas abaixo: integral1^2 integral0^1(e^x+y+x^2+ln y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral dupla . Esse exercício envolve integrais iteradas, que são usadas para calcular áreas ou volumes sob superfícies definidas por funções de duas variáveis. Vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função integral0^1 (e^x+y + x^2 + ln y) dx em relação a , mantendo constante. Isso significa que tratamos como um número fixo enquanto integramos em .
A integral fica:

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integral de integral e^x+y dx = e^y integral e^x dx = e^y cdot e^x g|0^1 = e^y (e^1 - e^0) = e^y (e - 1) em relação a integral x^2 dx = x^33 g|0^1 = 1^33 - 0^33 = 13 :
integral ln y , dx = ln y cdot x g|0^1 = ln y (1 - 0) = ln y
  1. Integral de em relação a :
  1. Integral de em relação a :

Passo 4

Agora, somamos as integrais dos três termos:
e^y (e - 1) + 13 + ln y

Passo 5

Em seguida, vamos integrar esse resultado em relação a integral1^2 (e^y (e - 1) + 13 + ln y) dy , de 1 a 2:

Passo 6

Mais uma vez, integramos cada termo separadamente:
  1. Integral de (e - 1) integral e^y dy = (e - 1) e^y g|1^2 = (e - 1)(e^2 - e) em relação a 13 integral dy = 13 y g|1^2 = 13(2 - 1) = 13 :
integral ln y , dy
  1. Integral de integral ln y , dy = y ln y - integral y cdot 1y dy = y ln y - integral 1 , dy = y ln y - y em relação a (2 ln 2 - 2) - (1 ln 1 - 1) = (2 ln 2 - 2) - (0 - 1) = 2 ln 2 - 2 + 1 = 2 ln 2 - 1 :
  1. Integral de em relação a :
Para essa integral, usamos a técnica de integração por partes. Seja e . Então, e .
Aplicando integração por partes:
Avaliando de 1 a 2:

Passo 7

Finalmente, somamos todos os resultados:
(e - 1)(e^2 - e) + 13 + (2 ln 2 - 1)
Simplificando:
e^3 - 2e^2 + e - 23 + 2 ln 2

Resposta

O valor da integral dupla é:
e^3 - 2e^2 + e - 23 + 2 ln 2

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