Beleza, vamos calcular a integral dupla . Esse exercício envolve integrais iteradas, que são usadas para calcular áreas ou volumes sob superfícies definidas por funções de duas variáveis. Vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a função em relação a , mantendo constante. Isso significa que tratamos como um número fixo enquanto integramos em .
A integral fica:
Passo 3
Vamos integrar cada termo separadamente:
Integral de em relação a :
Integral de em relação a :
Integral de em relação a :
Passo 4
Agora, somamos as integrais dos três termos:
e^y (e - 1) + 13 + ln y
Passo 5
Em seguida, vamos integrar esse resultado em relação a integral1^2 (e^y (e - 1) + 13 + ln y) dy , de 1 a 2:
Passo 6
Mais uma vez, integramos cada termo separadamente:
Integral de (e - 1) integral e^y dy = (e - 1) e^y g|1^2 = (e - 1)(e^2 - e) em relação a 13 integral dy = 13 y g|1^2 = 13(2 - 1) = 13 :
integral ln y , dy
Integral de integral ln y , dy = y ln y - integral y cdot 1y dy = y ln y - integral 1 , dy = y ln y - y em relação a (2 ln 2 - 2) - (1 ln 1 - 1) = (2 ln 2 - 2) - (0 - 1) = 2 ln 2 - 2 + 1 = 2 ln 2 - 1 :
Integral de em relação a :
Para essa integral, usamos a técnica de integração por partes. Seja e . Então, e .