Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de R^3, elas podem ser consideradas volumes: integral-pi / 2^pi / 2 integral0^pi sen x cos y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral iterada, que é basicamente uma integral dentro de outra, envolvendo as funções sin x e cos y. Além disso, precisamos identificar em quais regiões de R^3 essa integral pode representar um volume. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções de duas variáveis e entender um pouco sobre geometria espacial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que temos:
integral-pi / 2^pi / 2 integral0^pi sin x cos y , dx , dy
Aqui, estamos integrando a função sin x cos y em relação a x de 0 a pi, e depois em relação a y de -pi/2 a pi/2. A ideia é calcular essa integral passo a passo.

Passo 3

Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a x:
integral0^pi sin x cos y , dx
Como cos y é uma constante em relação a x, podemos tirar fora da integral:
cos y integral0^pi sin x , dx
Agora, integramos sin x em relação a x:
integral sin x , dx = -cos x + C
Aplicando os limites de integração de 0 a pi:
-cos pi + cos 0 = -(-1) + 1 = 1 + 1 = 2
Então, a integral interna fica:
cos y times 2 = 2 cos y

Passo 4

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral-pi / 2^pi / 2 2 cos y , dy
Podemos tirar o 2 da integral:
2 integral-pi / 2^pi / 2 cos y , dy
A integral de cos y em relação a y é:
integral cos y , dy = sin y + C
Aplicando os limites de -pi/2 a pi/2:
sin(pi2) - sin(-pi2) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2
Então, a integral externa fica:
2 times 2 = 4

Resposta

O valor da integral iterada é 4. Além disso, essa integral representa o volume sob a superfície z = sin x cos y sobre a região no plano (x, y) onde x varia de 0 a pi e y varia de -pi/2 a pi/2 em R^3.

Exercícios relacionados