Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de
, elas podem ser consideradas volumes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral iterada, que é basicamente uma integral dentro de outra, envolvendo as funções
e
. Além disso, precisamos identificar em quais regiões de
essa integral pode representar um volume. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções de duas variáveis e entender um pouco sobre geometria espacial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral que temos:
Aqui, estamos integrando a função
em relação a
de
a
, e depois em relação a
de
a
. A ideia é calcular essa integral passo a passo.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a
:
Como
é uma constante em relação a
, podemos tirar fora da integral:
Agora, integramos
em relação a
:
Aplicando os limites de integração de
a
:
Então, a integral interna fica:
Passo 4
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Podemos tirar o 2 da integral:
A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites de
a
:
Então, a integral externa fica:
Resposta
O valor da integral iterada é 4. Além disso, essa integral representa o volume sob a superfície
sobre a região no plano
onde
varia de
a
e
varia de
a
em
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais iteradas abaixo:
Calcule as integrais abaixo:
Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração: