Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de , elas podem ser consideradas volumes:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral iterada, que é basicamente uma integral dentro de outra, envolvendo as funções e . Além disso, precisamos identificar em quais regiões de essa integral pode representar um volume. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções de duas variáveis e entender um pouco sobre geometria espacial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que temos:
Aqui, estamos integrando a função em relação a de a , e depois em relação a de a . A ideia é calcular essa integral passo a passo.

Passo 3

Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a :
Como é uma constante em relação a , podemos tirar fora da integral:
Agora, integramos em relação a :
Aplicando os limites de integração de a :
Então, a integral interna fica:

Passo 4

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Podemos tirar o 2 da integral:
A integral de em relação a é:
Aplicando os limites de a :
Então, a integral externa fica:

Resposta

O valor da integral iterada é 4. Além disso, essa integral representa o volume sob a superfície sobre a região no plano onde varia de a e varia de a em .

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