Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida: integral0^2 integral0^4-2 x y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral dupla . Isso envolve integração dupla, que é uma técnica da Cálculo Integral usada para encontrar o volume sob uma superfície em uma região bidimensional. Para resolver, vamos precisar entender como inverter a ordem de integração e calcular a nova integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a 2 e, para cada , varia de 0 a . Isso forma uma região triangular no plano .

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que vamos primeiro integrar em relação a e depois em relação a . Para isso, precisamos expressar os limites de em termos de .

Passo 4

Observando a desigualdade 4 - 2x >= y implies 2x <= 4 - y implies x <= 4 - y2 = 2 - y2 , podemos resolver para :
Então, para cada , varia de 0 até .

Passo 5

Agora, os novos limites de integração são:
0 <= y <= 4 e 0 <= x <= 2 - y2
Portanto, a integral invertida fica:
integral0^4 integral0^2 - y2 y , dx , dy

Passo 6

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^2 - y2 y , dx = y cdot [ x ]0^2 - y2 = y (2 - y2) :

Passo 7

Agora, substituímos na integral externa:
integral0^4 (2y - y^22) dy

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
integral0^4 2y , dy - integral0^4 y^22 , dy = 2 cdot [y^22]0^4 - 12 cdot [y^33]0^4

Passo 9

Calculando cada parte:
2 cdot (4^22 - 0) = 2 cdot 8 = 16
12 cdot (4^33 - 0) = 12 cdot 643 = 323

Passo 10

Subtraindo os resultados:
16 - 323 = 483 - 323 = 163

Resposta

A integral vale .

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