Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral dupla
. Isso envolve integração dupla, que é uma técnica da Cálculo Integral usada para encontrar o volume sob uma superfície em uma região bidimensional. Para resolver, vamos precisar entender como inverter a ordem de integração e calcular a nova integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos
variando de 0 a 2 e, para cada
,
varia de 0 a
. Isso forma uma região triangular no plano
.
Passo 3
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que vamos primeiro integrar em relação a
e depois em relação a
. Para isso, precisamos expressar os limites de
em termos de
.
Passo 4
Observando a desigualdade
, podemos resolver para
:
Então, para cada
,
varia de 0 até
.
Passo 5
Agora, os novos limites de integração são:
Portanto, a integral invertida fica:
Passo 6
Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos na integral externa:
Passo 8
Vamos integrar termo a termo:
Passo 9
Calculando cada parte:
Passo 10
Subtraindo os resultados:
Resposta
A integral
vale
.
Exercícios relacionados
Use integral dupla para encontrar a área da região limitada por
.
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Calcule as integrais abaixo:
Calcule as integrais iteradas abaixo: