Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral dupla . Isso envolve integração dupla, que é uma técnica da Cálculo Integral usada para encontrar o volume sob uma superfície em uma região bidimensional. Para resolver, vamos precisar entender como inverter a ordem de integração e calcular a nova integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a 2 e, para cada , varia de 0 a . Isso forma uma região triangular no plano .

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que vamos primeiro integrar em relação a e depois em relação a . Para isso, precisamos expressar os limites de em termos de .

Passo 4

Observando a desigualdade , podemos resolver para :
Então, para cada , varia de 0 até .

Passo 5

Agora, os novos limites de integração são:
Portanto, a integral invertida fica:

Passo 6

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a :

Passo 7

Agora, substituímos na integral externa:

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:

Passo 9

Calculando cada parte:

Passo 10

Subtraindo os resultados:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Use integral dupla para encontrar a área da região limitada por .
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Calcule as integrais abaixo:
Calcule as integrais iteradas abaixo: