Calcule , onde é a região triangular com vértices .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região triangular com vértices em , e . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais duplas e entender bem os limites de integração desse triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Ela é um triângulo no plano com os vértices em , e . Isso significa que:
  • O eixo vai de 0 a 1.
  • Para cada valor de entre 0 e 1, o valor de começa em 0 e vai até a reta que liga a , que é simplesmente .

Passo 3

Agora, vamos montar a integral dupla. Sabemos que para integrar sobre , podemos primeiro integrar em relação a de 0 até , e depois em relação a de 0 até 1. Ficaria assim:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a . Como não depende de , ela pode ser tratada como uma constante nessa parte da integração:
Então, nossa integral dupla fica:

Passo 5

Agora, precisamos integrar em relação a . Vamos fazer uma substituição para simplificar:
  • Seja , então ou .
Substituindo na integral:
Avaliada de 0 a 1:

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é:

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Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Considere a integral
a) Calcule a integral.
Calcule as integrais abaixo: