Calcule , onde é a região triangular com vértices .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região triangular com vértices em , e . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais duplas e entender bem os limites de integração desse triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . Ela é um triângulo no plano com os vértices em , e . Isso significa que:
O eixo vai de 0 a 1.
Para cada valor de entre 0 e 1, o valor de começa em 0 e vai até a reta que liga a , que é simplesmente .
Passo 3
Agora, vamos montar a integral dupla. Sabemos que para integrar sobre , podemos primeiro integrar em relação a de 0 até , e depois em relação a de 0 até 1. Ficaria assim:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a . Como não depende de , ela pode ser tratada como uma constante nessa parte da integração:
Então, nossa integral dupla fica:
Passo 5
Agora, precisamos integrar em relação a . Vamos fazer uma substituição para simplificar: