Calcule as integrais:
integral sen^5(2 x) cos ^2(2 x) d x

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos calcular a integral integral sin^5(2x) cos^2(2x) , dx. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração envolvendo potências de funções trigonométricas, especificamente substituição e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a potência de seno é ímpar (5). Isso é útil porque podemos separar uma potência ímpar de seno para facilitar a substituição. Vamos reescrever sin^5(2x) como sin^4(2x) cdot sin(2x):
sin^5(2x) = sin^4(2x) cdot sin(2x)

Passo 3

Agora, vamos utilizar a identidade trigonométrica sin^2(theta) = 1 - cos^2(theta) para reescrever sin^4(2x).
Primeiro, elevamos ambos os lados da identidade ao quadrado:
sin^4(2x) = (sin^2(2x))^2 = (1 - cos^2(2x))^2
Então, a integral fica:
integral sin^5(2x) cos^2(2x) , dx = integral (1 - cos^2(2x))^2 cdot sin(2x) cdot cos^2(2x) , dx

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Definimos:
u = cos(2x)
Então, calculamos a derivada de u em relação a x:
dudx = -2sin(2x) Rightarrow sin(2x) , dx = -12 , du

Passo 5

Substituindo u e sin(2x) , dx na integral, temos:
integral (1 - u^2)^2 cdot u^2 cdot (-12) , du = -12 integral u^2(1 - u^2)^2 , du

Passo 6

Vamos expandir o termo (1 - u^2)^2:
(1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4
Substituindo de volta na integral:
-12 integral u^2(1 - 2u^2 + u^4) , du = -12 integral (u^2 - 2u^4 + u^6) , du

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral u^2 , du = u^33
integral u^4 , du = u^55
integral u^6 , du = u^77
Portanto:
-12 ( u^33 - 2 cdot u^55 + u^77 ) + C

Passo 8

Finalmente, substituímos u = cos(2x) de volta na expressão:
-12 ( cos^3(2x)3 - 2 cos^5(2x)5 + cos^7(2x)7 ) + C

Resposta

A integral é igual a:
-16 cos^3(2x) + 15 cos^5(2x) - 114 cos^7(2x) + C
Onde C é a constante de integração.

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