Calcule as integrais:
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos calcular a integral
. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração envolvendo potências de funções trigonométricas, especificamente substituição e identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, observamos que a potência de seno é ímpar (5). Isso é útil porque podemos separar uma potência ímpar de seno para facilitar a substituição. Vamos reescrever
como
:
Passo 3
Agora, vamos utilizar a identidade trigonométrica
para reescrever
.
Primeiro, elevamos ambos os lados da identidade ao quadrado:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Definimos:
Então, calculamos a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Substituindo
e
na integral, temos:
Passo 6
Vamos expandir o termo
:
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto:
Passo 8
Finalmente, substituímos
de volta na expressão:
Resposta
A integral é igual a:
Onde
é a constante de integração.