Quando tem t anos de uso, certa máquina industrial gera receita a uma taxa R'(t) 5000 - 20 t^2 reais por ano; a taxa de aumento dos custos de operação e manutenção da máquina é dada por C'(t) = 2000 + 10 t^2 reais por ano. Lembrando que o lucro L(t) é dado por L(t) = R(t) - C(t), resolva os itens abaixo.
(b) Calcule o lucro total auferido no período de tempo [0, t0].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para calcular o lucro total obtido por uma máquina industrial ao longo de um período de tempo . Vamos trabalhar com a ideia de que o lucro em cada instante é a diferença entre a receita e os custos . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral para encontrar essas funções a partir das suas derivadas e depois calcular a integral do lucro ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a função da receita . Sabemos que a taxa de variação da receita em relação ao tempo é dada por:
Para achar , vamos integrar em relação a :
Integrando termo a termo:
Aqui, é a constante de integração. Como geralmente consideramos (sem receita no tempo inicial), podemos dizer que . Portanto:

Passo 3

Agora, vamos determinar a função dos custos . A taxa de variação dos custos em relação ao tempo é:
Integrando para encontrar :
Integrando termo a termo:
Assim como antes, assumimos que , então , e temos:

Passo 4

Com as funções e descobertas, podemos encontrar o lucro em cada instante :
Simplificando:

Passo 5

Agora, para encontrar o lucro total no período , precisamos integrar em relação a nesse intervalo:
Integrando termo a termo:
Substituindo e 0:

Resposta

O lucro total auferido no período de tempo é dado por:

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