Calcule as integrais abaixo.
(l) integral cossec^2 x raizcotg x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular a integral de cossec^2 x raizcotg x , dx. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração envolvendo substituição e identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma substituição. Vamos chamar u = cotg x. A derivada de u em relação a x é du/dx = -cossec^2 x. Portanto, du = -cossec^2 x , dx.

Passo 3

Agora, substituímos na integral original. A integral fica:
integral cossec^2 x raizcotg x , dx = integral raizu cdot (-du)
Simplificando, temos:
- integral raizu , du

Passo 4

Vamos integrar raizu. Lembrando que raizu = u^1/2, e a integral de u^n é u^n+1n+1. Aplicando isso:
- integral u^1/2 , du = - ( u^3/23/2 ) + C = - 23 u^3/2 + C

Passo 5

Finalmente, substituímos u de volta para termos em x. Como u = cotg x, temos:
- 23 (cotg x)^3/2 + C

Resposta

A integral vale - dfrac23 cotg^,3/2 x + C.

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