Calcule as integrais abaixo.
(s) integral(sec ^2(2 x)+1+x1+x^2) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente a integração de funções trigonométricas e racionais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as fórmulas de integração básica e algumas técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar integral sec^2(2x) dx = integral sec^2(u) cdot du2 = 12 tan(u) + C = 12 tan(2x) + C . Sabemos que a integral de em relação a é mais a constante de integração. Mas aqui temos um dentro da função, então precisamos usar a técnica de substituição.
Seja , então ou .
Agora, substituindo na integral:

Passo 3

Agora, vamos integrar 1+x1+x^2 = 11+x^2 + x1+x^2 . Podemos separar essa fração em duas partes:
integral x1+x^2 dx = 12 ln|1+x^2| + C
Agora, vamos integrar cada parte separadamente.
  1. integral 1+x1+x^2 dx = tan^-1(x) + 12 ln(1+x^2) + C é uma integral padrão que resulta em .
  2. pode ser resolvida com substituição. Seja , então ou . Assim:
Então, juntando as duas partes:

Resposta

A integral completa é:
integral(sec ^2(2 x)+1+x1+x^2) dx = 12 tan(2x) + tan^-1(x) + 12 ln(1+x^2) + C

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