Calcule as integrais abaixo:
(e)
sobre o círculo:
;
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral complexa juntos! O enunciado pede para calcular a integral de
ao redor do círculo
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Complexo, especificamente envolvendo integrais de contorno e teorema dos resíduos. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos onde a função não é analítica (os polos) e aplicar o teorema dos resíduos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da função que vamos integrar:
. Podemos fatorar o denominador:
Assim, a função fica:
Passo 3
Agora, identificamos os polos da função, que são os valores de
que tornam o denominador zero. São eles:
Então, temos dois polos simples em
e
.
Passo 4
Como estamos integrando sobre o círculo
, precisamos verificar quais desses polos estão dentro desse círculo. Calculamos o módulo de cada polo:
Como
e
, ambos os polos
e
estão dentro do contorno da integral.
Passo 5
Para aplicar o Teorema dos Resíduos, precisamos calcular o resíduo da função em cada polo dentro do contorno.
Para um polo simples, o resíduo de
em
é:
Aplicando isso:
- Resíduo em
:
- Resíduo em
:
Passo 6
Segundo o Teorema dos Resíduos, a integral é igual a
vezes a soma dos resíduos dentro do contorno. Então:
Resposta
A integral vale
.