Calcule as integrais abaixo:
(e) oint 1z^2-1 d z sobre o círculo: |z|=2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral complexa juntos! O enunciado pede para calcular a integral de ao redor do círculo . Isso está dentro da matéria de Cálculo Complexo, especificamente envolvendo integrais de contorno e teorema dos resíduos. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos onde a função não é analítica (os polos) e aplicar o teorema dos resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função que vamos integrar: z^2 - 1 = (z - 1)(z + 1) . Podemos fatorar o denominador:
1(z - 1)(z + 1)
Assim, a função fica:

Passo 3

Agora, identificamos os polos da função, que são os valores de z - 1 = 0 Rightarrow z = 1 que tornam o denominador zero. São eles:
z + 1 = 0 Rightarrow z = -1
Então, temos dois polos simples em e .

Passo 4

Como estamos integrando sobre o círculo |1| = 1 e |-1| = 1 , precisamos verificar quais desses polos estão dentro desse círculo. Calculamos o módulo de cada polo:
Como e , ambos os polos e estão dentro do contorno da integral.

Passo 5

Para aplicar o Teorema dos Resíduos, precisamos calcular o resíduo da função em cada polo dentro do contorno.
Para um polo simples, o resíduo de Res(f, a) = 1a - b em Res(f, 1) = 11 - (-1) = 12 é:
Res(f, -1) = 1-1 - 1 = 1-2 = -12
Aplicando isso:
  • Resíduo em :
  • Resíduo em :

Passo 6

Segundo o Teorema dos Resíduos, a integral é igual a oint 1z^2-1 dz = 2pi i ( 12 - 12 ) = 2pi i times 0 = 0 vezes a soma dos resíduos dentro do contorno. Então:

Resposta

A integral vale .

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