Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a
.
(e)
(e)
Passo 1
Vamos calcular o resíduo da função
dentro de um contorno definido por um círculo de raio 1, ou seja,
. Para isso, vamos utilizar conceitos de análise complexa, especificamente sobre resíduos em pontos singulares.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os pontos singulares de
. A função
tem zeros onde
, onde
é um número inteiro. Esses zeros são os pontos onde
pode ter singularidades.
Passo 3
Dentro do círculo de raio 1, ou seja, para
, o único valor de
que satisfaz
é
, já que
é maior que 1. Portanto, a única singularidade que precisamos considerar é
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento de
perto de
. Sabemos que:
Portanto, próximo a
:
Isso indica que
é um polo simples (ou seja, uma singularidade de primeira ordem).
Passo 5
Para calcular o resíduo de
em
, usamos a fórmula para resíduos em polos simples:
Sabemos que
, então:
Além disso,
.
Passo 6
Substituindo na expressão do resíduo:
Resposta
O resíduo da função
dentro do contorno
é
.