Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a 1 ( |z| = 1 ).
(e) f(z) = e^z / senz

Passo 1

Vamos calcular o resíduo da função dentro de um contorno definido por um círculo de raio 1, ou seja, . Para isso, vamos utilizar conceitos de análise complexa, especificamente sobre resíduos em pontos singulares.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os pontos singulares de . A função tem zeros onde , onde é um número inteiro. Esses zeros são os pontos onde pode ter singularidades.

Passo 3

Dentro do círculo de raio 1, ou seja, para , o único valor de que satisfaz é , já que é maior que 1. Portanto, a única singularidade que precisamos considerar é .

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de perto de . Sabemos que:
Portanto, próximo a :
Isso indica que é um polo simples (ou seja, uma singularidade de primeira ordem).

Passo 5

Para calcular o resíduo de em , usamos a fórmula para resíduos em polos simples:
Sabemos que , então:
Além disso, .

Passo 6

Substituindo na expressão do resíduo:

Resposta

O resíduo da função dentro do contorno é .

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