Verifique se as funções abaixo são analíticas:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função
é analítica. Isso está dentro do conteúdo de Análise Complexa, mais especificamente sobre funções analíticas. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser analítica no contexto dos números complexos e aplicar isso à função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função analítica. Uma função
é dita analítica em um ponto se ela é diferenciável nesse ponto e em todo ponto de uma vizinhança ao redor dele. No mundo dos números complexos, isso é um pouco mais rigoroso que na análise real.
Passo 3
Uma das maneiras de verificar se uma função é analítica é usando as Equações de Cauchy-Riemann. Essas equações são condições necessárias (e, em muitos casos, suficientes) para que uma função seja diferenciável, e, portanto, analítica.
Passo 4
Vamos decompôr a função
em suas partes reais e imaginárias. Primeiro, escrevemos
como
, onde
e
são números reais. Então:
Passo 5
Vamos calcular
:
Sabemos que
e
, então:
Passo 6
Vamos separar as partes reais e imaginárias:
Aqui, a parte real é
e a parte imaginária é
.
Passo 7
Agora, aplicamos as Equações de Cauchy-Riemann:
Vamos calcular essas derivadas:
Passo 8
Agora, verificamos as Equações de Cauchy-Riemann:
Como ambas as igualdades são verdadeiras para todo
e
, as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todo o plano complexo.
Passo 9
Além disso, as funções
e
possuem derivadas contínuas, o que significa que a função
é diferenciável em todo ponto do plano complexo.
Resposta
Sim, a função
é analítica em todo o plano complexo.