Verifique se as funções abaixo são analíticas:
© f(z) = z^3 + 3i

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função é analítica. Isso está dentro do conteúdo de Análise Complexa, mais especificamente sobre funções analíticas. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser analítica no contexto dos números complexos e aplicar isso à função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função analítica. Uma função é dita analítica em um ponto se ela é diferenciável nesse ponto e em todo ponto de uma vizinhança ao redor dele. No mundo dos números complexos, isso é um pouco mais rigoroso que na análise real.

Passo 3

Uma das maneiras de verificar se uma função é analítica é usando as Equações de Cauchy-Riemann. Essas equações são condições necessárias (e, em muitos casos, suficientes) para que uma função seja diferenciável, e, portanto, analítica.

Passo 4

Vamos decompôr a função em suas partes reais e imaginárias. Primeiro, escrevemos como , onde e são números reais. Então:

Passo 5

Vamos calcular :
Sabemos que e , então:

Passo 6

Vamos separar as partes reais e imaginárias:
Aqui, a parte real é e a parte imaginária é .

Passo 7

Agora, aplicamos as Equações de Cauchy-Riemann:
Vamos calcular essas derivadas:

Passo 8

Agora, verificamos as Equações de Cauchy-Riemann:
Como ambas as igualdades são verdadeiras para todo e , as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todo o plano complexo.

Passo 9

Além disso, as funções e possuem derivadas contínuas, o que significa que a função é diferenciável em todo ponto do plano complexo.

Resposta

Sim, a função é analítica em todo o plano complexo.

Exercícios relacionados